Geometrisch-Arithmetische Ungleichung

05.05.2019, 14:16	Davidd	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrisch-Arithmetische Ungleichung Meine Frage: Sei a eine positive reelle Zahl. Verwenden Sie die Geometrisch-Arithmetische Ungleichung, um zu zeigen dass für jedes $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ Folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a} <= 1 + \frac{2}{n} ( \sqrt{a} - 1) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Ich wollte Induktion verwenden, um die Ungleichung zu beweisen. Den Induktionsanfang für n = 2 ist recht einfach da bekomme ich $\begin{eqnarray} \sqrt{a} <= \sqrt{a} \end{eqnarray}$ . Aber wie kann ich es mit dem Induktionsschritt für n -> n + 1 zeigen ? Dann hätte ich: $\begin{eqnarray} \sqrt[n + 1]{a} <= 1 + \frac{2}{n + 1} ( \sqrt{a} - 1)<br /> \end{eqnarray}$ Ich hatte mir überlegt vielleicht wäre es einfacher, wenn man $\begin{eqnarray} x := \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ definiert, aber wie geht das für die n + 1 -te Wurzel von a ? Edit (mY+): LaTeX - Tags gesetzt.
05.05.2019, 14:31	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrisch-Arithmetische Ungleichung Die rechte Seite der Ungleichung ist $\begin{eqnarray} \frac 1 n (n-2+2\sqrt{a}) \end{eqnarray}$ ..

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