Zirkelschlüsse

05.05.2019, 20:41

Pippen

Zirkelschlüsse

Wenn X ein Axiom ist, dann ist X |- X der Beweis von X und X wäre wahr (angenommen der Kalkül wäre korrekt). Obwohl hier ein Zirkelschluss vorliegt, wäre der Beweis vollkommen in Ordnung.

Wenn dagegen X ein Axiom ist, aber Y nicht und es gilt: X,Y |- Y, dann wäre das auch in der Mathematik ein problematischer Zirkelschluss, weil die Wahrheit von Y nicht festünde. Man müsste entweder Y zum Axiom machen oder seperat beweisen, weil erst dann die Konklusion Y als wahr bewiesen wäre (in einem korrekten Kalkül).

Während also in empirischen Argumenten Zirkelschlüsse immer "schlecht" sind, weil die Wahrheit der Konklusion trotz gültiger Schlussform unsicher bleibt, ist das in der Mathematik nur zT der Fall.

Richtig?

05.05.2019, 23:55

zweiundvierzig

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$\begin{eqnarray*} X,Y \vdash Y \end{eqnarray*}$ ist wahr (eigentlich $\begin{eqnarray*} \{X,Y\} \vdash Y \end{eqnarray*}$ , weil links eine Menge steht).

07.05.2019, 21:28

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
$\begin{eqnarray*} X,Y \vdash Y \end{eqnarray*}$ ist wahr (eigentlich $\begin{eqnarray*} \{X,Y\} \vdash Y \end{eqnarray*}$ , weil links eine Menge steht).

Ja, aber nur wenn Y ein Axiom oder Theorem ist. Wenn Y irgendeine (unbewiesene) Annahme wäre, dann nicht, oder?

Ich frage das alles nur, weil ich mich frage, ob Zirkelschlüsse in der Mathematik genauso "madig" sind, wie in der Empirie. Dort ist ein Zirkelschluss verpönt, weil man aus p |- p nicht erurieren kann, ob p nun wahr oder falsch ist, das bleibt offen. In der Mathematik gilt das mE nicht mehr, weil man dort quasi p durch Axiom (oder Beweis aus anderen Axiomen) wahr-machen kann und dann p |- p ein legitimer Beweis für die Wahrheit von p ist, richtig?

07.05.2019, 21:56

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen

Zitat:

Original von zweiundvierzig
$\begin{eqnarray*} X,Y \vdash Y \end{eqnarray*}$ ist wahr (eigentlich $\begin{eqnarray*} \{X,Y\} \vdash Y \end{eqnarray*}$ , weil links eine Menge steht).

Ja, aber nur wenn Y ein Axiom oder Theorem ist. Wenn Y irgendeine (unbewiesene) Annahme wäre, dann nicht, oder?

Nein, immer, s. Eigenschaft von Ableitungsoperatoren: Inklusion oder Sequenzenkalkül: Annahmeregel. Es gilt $\begin{eqnarray*} \Gamma, \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ für jede Formel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Pippen
Ich frage das alles nur, weil ich mich frage, ob Zirkelschlüsse in der Mathematik genauso "madig" sind, wie in der Empirie. Dort ist ein Zirkelschluss verpönt, weil man aus p |- p nicht erurieren kann, ob p nun wahr oder falsch ist, das bleibt offen. In der Mathematik gilt das mE nicht mehr, weil man dort quasi p durch Axiom (oder Beweis aus anderen Axiomen) wahr-machen kann und dann p |- p ein legitimer Beweis für die Wahrheit von p ist, richtig?

Es gilt $\begin{eqnarray*} \bot \rightarrow \bot \end{eqnarray*}$ .

08.05.2019, 00:46

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Es gilt $\begin{eqnarray*} \Gamma, \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ für jede Formel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Dann ist aber der Beweis von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auch nichts wert, weil's nichts über deren Wahrheit sagen würde. In einem korrekten Kalkül könnte $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wahr oder falsch sein, denn der korrekter Kalkül sichert ja nur Wahrheit bei wahren Prämissen, doch wir wüssten ja nicht, ob $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ falsch wäre und dann würde da immer noch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Zitat:

Es gilt $\begin{eqnarray*} \bot \rightarrow \bot \end{eqnarray*}$ .

Was meinst du damit? Wenn ich p als Axiom nehme, dann kann ich in einem korrekten Kalkül p beweisen und weiß damit, dass p wahr ist. Wenn ich dagegen in der Empirie annehme, dann kann ich p nicht einfach als Axiom annehmen, weil dort nicht meine Postulate gelten, sondern die Übereinstimmung mit der Welt, so dass ein Beweis von p dann wertlos wäre. Kritisierst du diese Einschätzung?

08.05.2019, 01:52

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
In einem korrekten Kalkül könnte $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wahr oder falsch sein, denn der korrekter Kalkül sichert ja nur Wahrheit bei wahren Prämissen, doch wir wüssten ja nicht, ob $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ falsch wäre und dann würde da immer noch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ rauskommen.

Der Schluss $\begin{eqnarray*} \Gamma, \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ ist allgemeingültig, da $\begin{eqnarray*} \Gamma \cup \{\varphi\} \vDash \varphi \end{eqnarray*}$ . Es kann prämissenlos auf $\begin{eqnarray*} \Gamma, \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ geschlossen werden. Die Annahme-Regel ist semantisch valide.

Zitat:

Original von Pippen
Was meinst du damit? Wenn ich p als Axiom nehme, dann kann ich in einem korrekten Kalkül p beweisen und weiß damit, dass p wahr ist.

Ja.

Zitat:

Original von Pippen

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pippen
[...] In der Mathematik gilt das mE nicht mehr, weil man dort quasi p durch Axiom (oder Beweis aus anderen Axiomen) wahr-machen kann und dann p |- p ein legitimer Beweis für die Wahrheit von p ist, richtig?

Es gilt $\begin{eqnarray*} \bot \rightarrow \bot \end{eqnarray*}$ .

Was meinst du damit?

Es gilt $\begin{eqnarray*} \vdash \bot \rightarrow \bot \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \not \vdash \bot \end{eqnarray*}$ . Der Schluss falsum impliziert falsum ist allgemeingültig, aber falsum ist nicht allgemeingültig.

Es ist $\begin{eqnarray*} \varphi \rightarrow \varphi \end{eqnarray*}$ nie ein Beweis für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . (Denn das würde bedeuten $\begin{eqnarray*} \varphi \rightarrow \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ .)

Es ist immer $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Beweis für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . (Denn das bedeutet $\begin{eqnarray*} \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ .)

Dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Beweis für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist, ist kein Beweis für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . (Aus $\begin{eqnarray*} \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ folgt i.a. nicht $\begin{eqnarray*} \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ .)

09.05.2019, 00:42

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
(Aus $\begin{eqnarray*} \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ folgt i.a. nicht $\begin{eqnarray*} \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ .)

Aber aus $\begin{eqnarray*} \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ folgt in einem korrekten Kalkül die Wahrheit von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , d.h. Zirkelschlüsse sind rein logisch/mathematisch völlig "gesunde" Schlußweisen oder was hälst du von Zirkelschlüssen in der Mathematik?

09.05.2019, 02:33

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pippen
Aber aus $\begin{eqnarray*} \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ folgt in einem korrekten Kalkül die Wahrheit von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

Nein.

09.05.2019, 08:13

Elvis

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"P hat keine Ahnung" $\begin{eqnarray*} \vdash \end{eqnarray*}$ "P hat keine Ahnung" ist allgemeingültig, aber nicht einmal P schließt daraus, dass es wahr ist, dass P keine Ahnung hat. (Zum Beispiel "P"="Präsident der USA", P=Donald Trump.) Wäre dieser falsche logische Schluß ein richtiger logischer Schluß, dann wäre jede Aussage wahr, weil sie sich selbst beweist. Es gibt nicht nur wahre und falsche Aussagen, es gibt auch richtige und falsche Schlüsse.

10.05.2019, 01:52

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Pippen
Aber aus $\begin{eqnarray*} \varphi \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ folgt in einem korrekten Kalkül die Wahrheit von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$

Nein.

Ok, weil in einem korrekten Kalkül aus Falschem auch Falsches folgen kann und wir ja von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nix wissen, es also auch falsch sein könnte. Meinst du das? Nun sei aber $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Axiom. Dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ per se wahr und der Kalkül liefert uns $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , so dass dann doch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ beweisbar wahr wäre. Richtig?

10.05.2019, 02:42

zweiundvierzig

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Eine Formel (oder Aussage) ist nicht wahr oder falsch.

Eine gegebene Formel wird von einer gegebenen Interpretation entweder erfüllt oder nicht erfüllt.

Eine Formel, die sich durch keine Interpretation erfüllen lässt, heißt unerfüllbar.
Eine Formel, die sich durch mindestens eine Interpretation erfüllen lässt, heißt erfüllbar.
Eine Formel, die durch jede Interpretation erfüllbar ist, heißt allgemeingültig.

Sequenzenkalküle sprechen über Ableitungen von Sequenzen (Konsequenzen) aus (Listen von) Sequenzen (Prämissen)) nach gewissen Regeln.

Eine Sequenz $\begin{eqnarray*} \Gamma \varphi \end{eqnarray*}$ heißt ableitbar, wenn sie im Kalkül als prämissenlose Konklusion auftritt (nach endlich vielen Ableitungsschritten). Man schreibt dann $\begin{eqnarray*} \Gamma \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ .

Ein Kalkül heißt korrekt, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \Gamma \vdash \varphi \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \Gamma \vDash \varphi \end{eqnarray*}$ .

Ein Kalkül hat Regeln, keine Axiome.

10.05.2019, 15:44

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ein Kalkül hat Regeln, keine Axiome.

Zumindest kommt es auf die Art des Kalküls an und, was mit "Axiom" gemeint ist.

19.05.2019, 23:44

Pippen

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Eine Formel (oder Aussage) ist nicht wahr oder falsch.

Eine Formel, die aus einem korrekten Kalkül gefolgert wird, ist wahr, wenn die Prämissen wahr sind. Wenn also aus einem korrekten Kalkül K aus der Prämissenmenge {p,q,r} die Formel p hergeleitet wird, dann ist p wahr, sofern p wahr wäre. Richtig?

Ok, daraus folgt, dass auch bei korrekten Kalkülen ein Zirkelschluss p |- p nichts über p's Wahrheit aussagt, richtig?

19.05.2019, 23:55

zweiundvierzig

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In einem Sequenzenkalkül werden keine Formeln hergeleitet, sondern Sequenzen.

Formeln sind nicht an sich wahr oder falsch. Sie werden erst durch Belegungen als wahr oder falsch interpretiert.

Wie eingangs gesagt, ist die Sequenz $\begin{eqnarray*} p \vdash p \end{eqnarray*}$ allgemeingültig für jedes $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

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