PQ-Formel, Anwendung unklar

06.05.2019, 16:46

Mathman91

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PQ-Formel, Anwendung unklar

Hallo zusammen,

ich berechne gerade das lokale Extremum.

Nun wird im Beispiel die PQ-Formel angewendet und hier komme ich nicht weiter:

Bsp:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=3x-x^3<br /> \end{eqnarray*}$

Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=3-3x^2 <br /> f''(x)=-6x<br /> \end{eqnarray*}$

Nun wird im Beispiel folgendes gemacht (ab hier komme ich nicht mehr mit):

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x_{0})=0 <br /> 3-3x^2_{0}=0 /:3 <br /> 1-x^2_{0}=0<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt wird die PQ-Formel angewendet. Lösung x0 = 1 & x0 = -1

Ich habe bis jetzt die PQ-Formel immer nur angewendet, wenn folgende Funktion vorliegt:

Nur ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{2}+3x-5 \end{eqnarray*}$

Hier wäre: P=3 & Q=-5

Aber bei dieser Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1-x^2_{0}=0 \end{eqnarray*}$

weiß ich nicht, was P und was Q ist??

Bitte euch um Hilfe!

SG

06.05.2019, 16:52

Steffen Bühler

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RE: PQ-Formel anwendung unklar

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{2}+3x-5 \end{eqnarray*}$

Hier wäre: P=3 & Q=-5

Nein, die pq-Formel gilt nur, wenn x² alleine steht. Hier ist also p=1,5 und q=-2,5.

Zitat:

Original von Mathman91
Aber bei dieser Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1-x^2_{0}=0 \end{eqnarray*}$

weiß ich nicht, was P und was Q ist

Wenn Du hier partout die pq-Formel nehmen willst, musst Du erst auf beiden Seiten mal -1 nehmen. Und dann steht da x²-1=0, was wäre das nach dem sturen Schema x²+px+q?

Aber von Kanonen und Spatzen mal abgesehen, dann kann man doch noch zu x²=1 umformen, und fertig.

Viele Grüße
Steffen

06.05.2019, 19:09

mYthos

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RE: PQ-Formel anwendung unklar

Zitat:

Original von Mathman91
Aber bei dieser Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1-x^2_{0}=0 \end{eqnarray*}$

weiß ich nicht, was P und was Q ist

Hier zerlege in Linearfaktoren und wende den Satz vom Nulprodukt an:

$\begin{eqnarray*} (1+ x_0) \cdot (1 - x_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Die beiden Lösungen ergeben sich bei Nullsetzen der Linearfaktoren.
-----------

Dieser Lösungsweg ist vorzuziehen, weil man bei $\begin{eqnarray*} \sqrt 1 \end{eqnarray*}$ leicht auf das zweite Vorzeichen vergessen kann, denn die Wurzel an sich ist immer positiv.

mY+

11.05.2019, 23:31

Mathman91

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RE: PQ-Formel anwendung unklar
Auf der Webseite wurde mit der PQ gearbeitet.

Also soll ich die PQ nur anwenden wenn z.B. eine Gleichung mit: x²-3x+5 vorkommt.

Bei:

$\begin{eqnarray*} 3-3x^{2} \end{eqnarray*}$

löse ich die Gleichung ohne PQ auf.

Hab ich das richtig verstanden?

Sorry für die verspätete Antwort.

SG

12.05.2019, 01:03

Lord69

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RE: PQ-Formel anwendung unklar
Ja.

12.05.2019, 01:43

mYthos

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Im Prinzip kann natürlich die Formel immer verwendet werden, beispielsweise auch in einem Programm.
---------
Falls der Gleichungsterm zerlegbar ist, bietet sich die Faktormethode an, weil man leichter und schneller zu den Lösungen gelangt.

mY+

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12.05.2019, 11:33

Mathman91

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Erstmals vielen Dank für eure Hilfe!

Eine Frage habe ich noch bezüglich der Schreibweise.
Hier wird ständig variiert. verwirrt

verwirrt

Die Funktionen werden oft mit: y = ... angegeben oder auch mit f(x) = ...
("f(x)" wird von mir bevorzugt).

Soll ich jetzt wenn ich die Ableitungen bilde: $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) \end{eqnarray*}$ schreiben?

Dann bei der PQ-Formel statt: $\begin{eqnarray*} x1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} x_{0}1 \end{eqnarray*}$ ?

Und bei den Kriterien:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0, f''(x) < 0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) = 0, f''(x_{0}) < 0 \end{eqnarray*}$ schreiben?

Viele Grüße

12.05.2019, 12:04

Steffen Bühler

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Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Vorschrift, dagegen ist $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ein Wert, und zwar der, den die Vorschrift für den Eingangswert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Viele Grüße
Steffen

12.05.2019, 16:12

willyengland

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Zitat:

Original von Mathman91
Und bei den Kriterien:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0, f''(x) < 0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} f'(x_{0}) = 0, f''(x_{0}) < 0 \end{eqnarray*}$ schreiben?

Als Laie würde ich sagen, beides ist richtig, aber letzteres habe ich noch nie gesehen.
Ich würde erstes für das allgemeine Kriterium benutzen und dann für die expliziten Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_{01} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{02} \end{eqnarray*}$ . Das wäre üblich.

12.05.2019, 23:26

Dopap

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beides sind Bedingungen mit einer Lösungsmenge.
Die Bedingung hängt nicht von der Schreibweise der Variablen ab.

bei Funktionen(Vorschriften) schmeckt mir das = Zeichen nicht, deshalb dort besser $\begin{eqnarray*} f(x):=3x^2-5x+34 \end{eqnarray*}$ schreiben.

also $\begin{eqnarray*} f(x):=66 , x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die konstante Funktion 66.

$\begin{eqnarray*} h(u)=17 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung, dass die bekannte Funktion h den Wert 17 hat. Die Lösungsmenge ist gesucht. Den Lösungs-Elementen muss man nicht schon vorher einen Namen geben, man kann aber.

13.05.2019, 18:26

Mathman91

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Dann mache ich das jetzt so:

Bei den Ableitungen schreibe ich: $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (In den Büchern wird f(x) und y angegeben, ist aber eigentlich das selbe).

Wenn die PQ-Formel zum Einsatz kommt, nehme ich x1 & x2. (Die PQ-Formel setze ich immer ein, wenn ich zwei Lösungen habe, also x1 & x2)

Falls es nur eine Lösung gibt schreibe ich: x0.

Bei den Kriterien schreibe ich dann:

$\begin{eqnarray*} f(x1) = ... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x2) = ... \end{eqnarray*}$ oder nur: $\begin{eqnarray*} f(x0) = ... \end{eqnarray*}$

So sollte es doch passen?

SG

13.05.2019, 18:52

Dopap

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ja, mach das so. Mathematik ist in der Gestaltung frei, wichtig ist Widerspruchsfreiheit und die Konsistenz.
Formeln vorzugeben ist nur dann in Ordnung wenn sie selbst zur Aufgabe gehören.

Löse $\begin{eqnarray*} 2x^2-8x+2=0 \end{eqnarray*}$ mit der p-q Formel ist o.k.

Löse $\begin{eqnarray*} 2x^2-8x+2=0 \end{eqnarray*}$ mit der a-b-c Formel nur dann, wenn damit die Formel selbst abgefragt wird.

13.05.2019, 20:49

Mathman91

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Ich habe die Frage in Beitrag Nr:2 noch nicht beantwortet.

Lösung durch Umformen:

Ich kann bei $\begin{eqnarray*} 1-x_{0}^{2}=0 \end{eqnarray*}$ einfach umformen:

$\begin{eqnarray*} 1-x_{0}^{2}=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} /+x_{0}^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1=x_{0}^{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} /\sqrt{} \end{eqnarray*}$

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} x_{0} = 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich aber nur ein Ergebnis. Ich benötige aber zwei.
Das heißt, x0 ist einmal positiv und einmal negativ:

$\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} x_{0}=-1 \end{eqnarray*}$

Nun kann ich die Extremum bestimmen.

Sollte so passen?

Viele Grüße

13.05.2019, 21:05

Steffen Bühler

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Ich finde es so besser:

$\begin{eqnarray*} x^2=1 \to x_{1,2}= \pm 1 \to x_1=1 \land x_2=-1 \end{eqnarray*}$

Zunächst wird die allgemeine Gleichung mit der Unbekannten x genannt, dann die beiden Werte von x, die sie erfüllen.

Viele Grüße
Steffen

13.05.2019, 21:14

mYthos

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Ja, aber .. statt "und" muss "oder" stehen.
Und die Mehrzahl von "Extremum" ist "Extrema" oder Extremwerte (-stellen).

mY+

13.05.2019, 23:21

Dopap

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$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\pm 1 \,\,\Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$

sind 2 Gleichungen in 2 Variablen, deshalb ist $\begin{eqnarray*} \land \end{eqnarray*}$ durchaus angebracht.

ansonsten: $\begin{eqnarray*} x^2=1 \Leftrightarrow x=1\, \lor\, x=-1 \end{eqnarray*}$

14.05.2019, 16:04

Mathman91

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Wieso diskutieren wir jetzt über 'und' und 'oder'? Mein '&' bezog sich nur darauf, dass wir zwei Ergebnisse haben. Mehr wollte ich damit nicht sagen. Einmal rechne ich das Kriterium mit x1 dann noch einmal mit x2. Ich hab doch alles richtig gemacht?

14.05.2019, 16:06

Steffen Bühler

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Nun, Du hast geschrieben

Zitat:

Original von Mathman91
$\begin{eqnarray*} x_{0}=1 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} x_{0}=-1 \end{eqnarray*}$

Und das ist logisch unmöglich. smile

smile

14.05.2019, 16:20

Mathman91

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Tut mir leid, hab das anders gemeint. Meine Rechnung ist aber korrekt, oder?

14.05.2019, 16:21

Steffen Bühler

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Ja, klar. Es war nur diese etwas unglückliche Formulierung.

Viele Grüße
Steffen

16.05.2019, 21:55

Mathman91

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Um die PQ-Formel anwenden zu können, muss ich die quadratische Gleichung umstellen:

$\begin{eqnarray*} 3x^{2} -3 \end{eqnarray*}$

Nun durch 3 dividieren.

Jetzt habe ich: $\begin{eqnarray*} x^{2} -1 \end{eqnarray*}$

Nun ist:

Q = -1
P = 0

Da wir für P keinen Wert haben ist er 0.

Nun nur noch in die PQ-Formel einsetzen und ausrechen.

SG

16.05.2019, 22:26

Dopap

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Um die PQ-Formel anwenden zu können, muss ich die quadratische Gleichung umstellen:

$\begin{eqnarray*} 3x^{2} -3 = 0 \end{eqnarray*}$ Lehrer

Lehrer

Da wir für p keinen Wert haben ist er 0

logischer Unfug.

17.05.2019, 01:31

mYthos

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Es gibt immer einen Wert für p, denn auch, wenn kein x-Glied zu sehen ist, steht es dennoch so dort:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 0x - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ , also ist p=0

mY+

17.05.2019, 07:44

Mathman91

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Also wenn die quadratische Gleichung keinen Wert für P hat schreibe ich 0x.
Sollte es keinen Wert für Q geben, so schreibe ich in die Gleichung eine 0.

Vielen Dank.

SG

17.05.2019, 08:50

Steffen Bühler

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Das ist richtig, aber, wie schon mehrmals im Thread erwähnt, in beiden Fällen Energieverschwendung, die pq-Formel herzunehmen:

$\begin{eqnarray*} x^2+0 \cdot x + q=0 \to x^2=-q \to x_{1/2}=\pm \sqrt {-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+p \cdot x +0\cdot q=0 \to x \cdot (x+p)=0 \to x_1 = 0 \land x_2=-p \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

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