Sinus Cosinus Herleitung Funktionenpaar, Bogenlänge

07.05.2019, 09:57

blabliblubbbb

Sinus Cosinus Herleitung Funktionenpaar, Bogenlänge

Meine Frage:
Hallo! Ich hänge wirklich bei der Herleitung von Sinus und Cosinus als Funktionen und finde auch online nur den Ansatz über komplexe Zahlen. Ich habe folgende Aufgabe:

Sei (s,c) ? C1(R)xC1(R)ein Funktionenpaar, welches folgenden Bedingungen genügt:
s'(x)=c(x) c'(x)=-s(x) s(0)=0 c(0)=1 (*)

1)Es gilt für alle x Element R: s^2+c^2=1
2)Die Funktionen sind durch (*) eindeutig bestimmt.
3)Es gelten die Additionstheoreme s(x+y) und c(x+y).

Meine Ideen:
Ich weiß, dass es sich um Sinus und Cosinus handelt und kenne alle Aussagen für Sinus und Cosinus, aber hier ist ja alles erstmal allgemeiner formuliert.

Bei der 1 ist es ja trivial für x=0, da sind die s und c Werte ja auch angegeben. Kann ich jetzt über die Ableitung argumentieren? Also wenn s für x>0 steigt, ist c' negativ und c fällt dementsprechend und gleicht das aus? Ich weiß nicht wie ich das richtig formulieren soll

Bei der 2 ist als Hinweis angegeben: Ist (s?,c?) ein weiteres Funktionenpaar, welches (*) genügt, dann betrachten Sie
die Funktion f (x) = (s(x)? s verwirrt

x))^2+(c(x)?c verwirrt

x))^2 und deren Ableitung.
Hab also erstmal die binomische Formel angewandt, für f(x) komm ich unter Anwendung von 1 auf f(x)=-2(s(x)s verwirrt

x)-c(x)c

x))+2, für die Ableitung mit Produktregel auf 0. Aber was sagt mir das? Wenn ich bei f für x 0 einsetze krieg ich insgesamt immer 0 raus und klar, wenn s(0)=0 dann ist auch s verwirrt

0)=0 und gleich für c, dann streicht sich alles gegenseitig. Aber das hilft mir doch überhaupt nicht?

Und für die Additionstheoreme hab ich noch absolut keine Ahnung, ich kenn den Beweis über das Komplexe, aber hier bin ich planlos.

07.05.2019, 10:09

Leopold

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Dann beginnen wir einmal. Für die Funktion $\begin{align*} e = s^2 + c^2 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} e' = 2ss' + 2cc' = 2sc - 2cs = 0 \end{align*}$

Was kannst du daraus folgern? Und wie geht es weiter?

07.05.2019, 10:32

blabliblubbbb

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Wenn die Ableitung an einer Stelle 0 ist, gibt es ein Extremum. Wenn die Ableitung überall 0 ist, ist die Funktion konstant.
Oh also ist mein $\begin{eqnarray*} s^{2}+c^{2} \end{eqnarray*}$ eine konstante Funktion und ich kann den Funktionswert an einer Stelle (hier am besten x=0) ausrechnen und der ist dann eben der Wert für alle x?

07.05.2019, 10:33

blabliblubbbb

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RE: Sinus Cosinus Herleitung Funktionenpaar, Bogenlänge
[attach]49223[/attach]Ich sehe grade, jedes Mal wenn dieser Emoji eingefügt wird soll es s/c Schlange sein, also einfach eine andere Funktion die den gleichen Anforderungen entspricht

07.05.2019, 10:42

Leopold

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So ist es. 1) ist damit erledigt.
Für 2) schlage ich dir eine Alternative zu (b) vor:

Nimm an, es gäbe zwei Funktionenpaare $\begin{align*} (s_1,c_1) \end{align*}$ und $\begin{align*} (s_2,c_2) \end{align*}$ , die die Bedingungen (*) erfüllen. Zeige, daß für diese dann

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ s_1c_2 - c_1s_2 = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ s_1s_2 + c_1c_2 = 1 \end{align*}$

gelten müssen. Zum Nachweis nenne die linken Seiten der Gleichungen $\begin{align*} u \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} v \end{align*}$ und zeige durch Ableiten mit Hilfe von (*), daß $\begin{align*} u \end{align*}$ und $\begin{align*} v \end{align*}$ in Wahrheit konstant 0 beziehungsweise konstant 1 sein müssen.
Was passiert, wenn du dann $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ mit $\begin{align*} c_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(2}) \end{align*}$ mit $\begin{align*} s_2 \end{align*}$ multiplizierst und die Gleichungen addierst?

07.05.2019, 11:12

blabliblubbbb

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u= s1c2-c1s2
u'=s1'c2+s1c2'-s2'c1-s2c1'=c1c2-s1s2-c1c2+s1s2=0
gleich für v, das versteh ich. Also ist alles unabhängig davon, welchen x wert ich nehme.

wenn ich jetzt multipliziere bekomm ich
$\begin{eqnarray*} <br /> s1c2^{2}-c1s1c2=0<br /> s1s2^{2}+c1c2s2=s1<br /> \end{eqnarray*}$

alles zusammen addiert also $\begin{eqnarray*} s1s2^{2}+s1c2^{2}=s1 \end{eqnarray*}$
dann s1 ausklammern und durch teilen ergibt $\begin{eqnarray*} s2^{2}+c2^{2}=1 \end{eqnarray*}$
das ist ja eine Eigenschaft die das Funktionenpaar erfüllen muss. Aber wieso sagt mir das jetzt, dass s2=s1, analog für c?

07.05.2019, 11:27

Leopold

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Die zweite Gleichung mit $\begin{align*} s_2 \end{align*}$ multiplizieren! Und in der ersten Zeile stimmt auch ein Index nicht.

08.05.2019, 10:48

blabliblubbbb

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oh ich sehe was ich falsch gemacht hab, danke! ich komm so also auf s1=s2. wenn ich das habe, reicht dann ein Koeffizientenvergleich von 1=s1s2+c1c2=s1^2+c1c2=s1^2+c1^2 mit c2 als Koeffizient?

08.05.2019, 11:10

Leopold

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Koeffizientenvergleich funktioniert hier nicht. Jedenfalls nicht so ohne weiteres. Die Funktionen der Klasse $\begin{align*} C^1 \end{align*}$ bilden einen Vektorraum und einen Ring, manche Leute sagen dazu auch: eine Algebra, aber keinen Körper. Und da man im allgemeinen nicht dividieren kann, können Eigenschaften aus Körpern nicht einfach übertragen werden.
Kehre zu den Gleichungen $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ zurück und wende, was gerade so gut funktioniert hat, in neuer Weise an. Multipliziere also die Gleichungen geschickt und addiere sie, so daß du zum Schluß $\begin{align*} c_1 = c_2 \end{align*}$ erhältst.

08.05.2019, 12:01

blabliblubbbb

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warum überseh ich sowas verwirrt

tausend dank! habs jetzt richtig multipliziert und umgeformt und auch die Additionstheoreme hinbekommen.
Das unendlich oft differenzierbar ist ja dadurch trivial, dass s'=c und c'=-s und man sich dadurch im kreis dreht, das krieg ich auch noch aufgeschrieben.

Jetzt soll ich ja zeigen, dass s ungerade und c gerade ist. Ich weiß dass eine gerade funktion abgeleitet eine ungerade ist und andersherum, dh wenn ich den Beweis für eine der beiden Funktionen hinkriege, ist der Rest ja miterledigt. Aber wo fang ich an?

08.05.2019, 12:15

Leopold

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Das mit den Additionstheoremen scheint mir nicht ganz so trivial zu sein. Die Aufgabe (a),(b),(c),(d) ist so aufgebaut, daß man immer die vorigen für das nächste braucht. Insofern melde ich Zweifel an, daß dein Beweis der Additionstheoreme richtig ist.

Für (c) sei $\begin{align*} (s,c) \end{align*}$ das gemäß (b) eindeutig bestimmte Lösungspaar von (*). Jetzt definiere $\begin{align*} \tilde{s} \end{align*}$ und $\begin{align*} \tilde{c} \end{align*}$ durch

$\begin{align*} \tilde{s}(x) = -s(-x) \, , \ \ \tilde{c}(x) = c(-x) \end{align*}$

und weise nach, daß auch $\begin{align*} (\tilde{s},\tilde{c}) \end{align*}$ eine Lösung von (*) sind. Den Rest erledigt die Eindeutigkeit.

Bei (d) habe ich dann $\begin{align*} y \end{align*}$ als konstant und $\begin{align*} x \end{align*}$ als variabel angesehen und $\begin{align*} x+y = t \end{align*}$ substituiert, so daß

$\begin{align*} s(t) = s(t-y) c(y) + c(t-y)s(y) \, , \ \ c(t) = c(t-y) c(y) - s(t-y) s(y) \end{align*}$

zu beweisen sind, wobei wieder $\begin{align*} (s,c) \end{align*}$ die eindeutig bestimmte Lösung des Problems ist. Nennt man die rechten Seiten dieser Gleichungen $\begin{align*} S(t) \end{align*}$ und $\begin{align*} C(t) \end{align*}$ , so kann man erneut zeigen, daß das Paar $\begin{align*} (S,C) \end{align*}$ eine Lösung von (*) ist. Beim Rechnen habe ich unter anderem (c) gebraucht.

08.05.2019, 12:26

blabliblubbbb

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ich guck mir den Ansatz von dir sofort durch, danke!
Ich hab für die d eigentlich den gleichen Ansatz, aber dann wie vorher gesagt, dass die Funktionen konstant sind, also einmal abgeleitet. Wenns konstant ist, ist der Funktionswert überall gleich
also für f(x)=s(a+b-x)c(x)+c(a+b-x)s(x) ist f(0)=f(b)
mit f(0)=s(a+b) und f(b)=s(a)c(b)+c(a)s(b)
also so hab ichs gemacht ohne die c zu benutzen

08.05.2019, 12:46

Leopold

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Zitat:

Original von blabliblubbbb
also so hab ichs gemacht ohne die c zu benutzen

Ich habe es gerade nachgerechnet. Deine Methode funktioniert auch.

09.05.2019, 19:40

PhysicsStud

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Du studierst also auch an der Universität Heidelberg Big Laugh

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