Lineare Abbildung, Image und Kern

07.05.2019, 10:34	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung, Image und Kern Es sei $\begin{eqnarray} F:\mathbb R ^4 \rightarrow \mathbb R ^3, F(x) = Ax \end{eqnarray}$ die lineare Abbildung die durch: $\begin{eqnarray} F \begin{pmatrix} x \\ y \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y+s+t \\ x+2s-t \\ x+y+3s-3t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ definiert ist. Geben sie eine Basis und Dimension für a.) das Bild Im F b.) und den Kern Ker F an. Meine Idee: a.) Das Bild: $\begin{eqnarray} Im(F) = \left\{ x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \| x,y,s,t \in \mathbb R \right\} = span(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}) = Spaltenraum(F) \end{eqnarray}$ Eine Basis von Im(F) sind die linear unabhängigen Vektoren vom Spaltenraum(F): $\begin{eqnarray} \Rightarrow span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Dim(Im(F)) =2 \end{eqnarray}$ ___________________________________________________________________________ _____ b.) Der Kern: $\begin{eqnarray} Ker(F)=\left\{ x,y,s,t \in \mathbb R \| F\begin{pmatrix} x \\ y \\ s \\ t \end{pmatrix} =0\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \|& 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & \|& 0 \\ 1 & 1 & 3 & -3 & \|& 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \|& 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & \|& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \|& 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 & \|& 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & \|& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \|& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lösen vom LGS: $\begin{eqnarray} x=2s-t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=s-2t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ker(F) = \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ s \\ t \end{pmatrix} \| \begin{pmatrix} x \\ y \\ s \\ t \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Basis von Ker(F) : $\begin{eqnarray} span(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Dimension vom Kern sind die anzahl der frei wählbaren Parameter im LGS: $\begin{eqnarray} dim(Ker(F))=2<br /> \end{eqnarray}$
07.05.2019, 11:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen vom LGS: x=-2s+t y=-s+2t Damit ändert sich die Basis des Kerns. Alles andere stimmt.
07.05.2019, 13:36	Kathreena	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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