Sinus-Funktion ableiten, l'Hospital

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vanTutti Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus-Funktion ableiten, l'Hospital
Meine Frage:
Das sollte ja eine altbekannte Kleinigkeit sein. Mir aber verursacht sie Probleme. Daher bitte ich um ausführliche Hilfe.

Meine Vorschaufunktion funzt nicht! Ich hoffe, dass das trotzdem gut leserlich ist.

Meine Ideen:
Nach den Ableitungsregeln komme ich zügig zu dem Zwischenergebnis:



Jetzt bekomme ich die Schwierigkeit dass beide Brüche bei der Grenzwertbildung die Form annehmen. Die sind ja eigentlich nicht definiert. Jetzt soll l'Hospital weiterhelfen. Danach [lt. Wiki: Regel von de l?Hospital] gilt: 'Die Regel von de l?Hospital besagt dann[weil hier ], dass, falls der Grenzwert existiert, dieser zugleich der Grenzwert sei,...'

Dazu bräuchte ich aber die Ableitung von sin(x), die ich aber gerade erst finden will. Ein Zirkelschluss!?
Zweitens ist h eine Zahl und keine Funktion. Auch deshalb scheint l'Hospital nicht anwendbar zu sein.

a) Sehe ich das richtig?

b) Wie also leitet man den Sinus korrekt ab?

Edit Equester: Das wirst du wohl nochmal nachbearbeiten müssen (in einem Folgebeitrag). Der erste Teil sieht noch fehlerhaft aus. Hab es zumindest versucht lesbar zu machen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr richtig, das wäre ein Zirkelschluss! Grenzwert muss man auf andere Weise hinbekommen:

Aus der geometrischen Definition der Winkelfunktionen überlege man sich für die Gültigkeit von , damit bekommt man das Sandwich , bei dem man zu übergeht.

Details siehe z.B. hier.
 
 
vanTutti Auf diesen Beitrag antworten »

@ Equester:

Nochmals die Frage in hoffentlich besser editierter Form(leider kriege ich die fehlenden Banks nicht rein; ebensowenig die Formatierung. ich weiss nicht was das los ist .:

@HAL9000:

"Nach den Ableitungsregeln komme ich zügig zu dem Zwischenergebnis:


Jetzt bekomme ich die Schwierigkeit dass beide Brüche bei der Grenzwertbildung die Form annehmen. Die sind ja eigentlich nicht definiert. Jetzt soll l'Hospital weiterhelfen. Danach [lt. Wiki: Regel von de l’Hospital] gilt: 'Die Regel von de l’Hospital besagt dann[weil hier ], dass, falls der Grenzwert existiert, dieser zugleich der Grenzwert sei,...'

Dazu bräuchte ich aber die Ableitung von sin(x), die ich aber gerade erst finden will. Ein Zirkelschluss!?
Zweitens ist h eine Zahl und keine Funktion. Auch deshalb scheint l'Hospital nicht anwendbar zu sein.

a) Sehe ich das richtig?

b) Wie also leitet man den Sinus korrekt ab?

"

Danke für Deine Antwort HAL9000. Leider funzt Dein Link nicht. Ich erhalte da "Ungültiger Titel".
Ich habe das jetzt mit der e-Funktion probiert. Da klappt das Ganze auf Anhieb.

Ich will aber Deinem Hinweis auf die geometrische Betrachtungsweise doch nachgehen. Ich tue mir nur mit diesen Ungleichheiten so schwer.

vanTutti

Edit Equester: Bitte nicht den ganzen Text in Latex einbinden
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vanTutti
Leider funzt Dein Link nicht. Ich erhalte da "Ungültiger Titel".

Nicht meine Schuld, ist ein bekanntes Matheboard-Problem bei sehr langen Links. Ich geb ihn nochmal in Textform an:

https://de.wikibooks.org/wiki/%20Beweisarchiv: _Analysis:_Differentialrechnung:_Differentiation_der_Sinusfunktion

(Bitte alle Leerzeichen entfernen).

Auch hier im Board gab es diese Diskussion schon mehrfach, hier die vielleicht ausführlichste:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=53286

Es kommt natürlich wesentlich darauf an, wie man den Sinus definiert, d.h. ob nun geometrisch am Einheitskreis, oder eben doch per Reihe.
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