Teilbarkeit mit Primzahlen

07.05.2019, 16:19

schu

Teilbarkeit mit Primzahlen

Meine Frage:
Hallo an alle smile

Ich habe folgende Aufgabe bekommen: Seinen p,q Element von P.
Z.z.: 24/p^2-q^2

Meine Ideen:
Meine Idee war p^2-q^2 in (p+q)*(p-q) zu zerlegen. 2 Primzahlen miteiander addiert müssen eine gerade Zahl ergeben also ist das ergebnis ohne Rest durch 2*2=4 teilbar. Aber mehr ist doch über die Summe von 2 Primzahlen nicht bekannt? Vielen Dank für eure Hilfe!

07.05.2019, 16:40

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RE: Teilbarkeit mit Primzahlen
Was soll 24/p^2-q^2 bedeuten? Dass 24 Teiler von p^2-q^2 ist? Das ist so allgemein sicher falsch. Da muss man nur ein paar Beispiele anschauen.

07.05.2019, 16:47

schu

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RE: Teilbarkeit mit Primzahlen
Danke für deine Antwort! Ich hatte vergessen, das p,q > 3 sein müssen. Danke für deine Hilfe!

07.05.2019, 16:48

schu

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RE: Teilbarkeit mit Primzahlen
Ansonsten soll es genau das bedeuten was du gesagt hattest smile

07.05.2019, 17:23

HAL 9000

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Beweisskizze:

1) Für jede ungerade Zahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 8\mid (p^2-1) \end{eqnarray*}$ .

2) Für jede nicht durch 3 teilbare Zahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 3\mid (p^2-1) \end{eqnarray*}$ .

3) Jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p>3 \end{eqnarray*}$ erfüllt beides, somit gilt für diese Zahlen stets $\begin{eqnarray*} 24\mid (p^2-1) \end{eqnarray*}$ .

4) Offensichtlich - oder?

07.05.2019, 17:28

schu

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ja das ist einleuchtend aber ich soll zeigen das 24/p^2-q^2 für p,q größer 3 und nicht 24/p^2-1

07.05.2019, 17:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von schu
ja das ist einleuchtend aber ich soll zeigen das 24/p^2-q^2 für p,q größer 3 und nicht 24/p^2-1

Ok, da hab ich mich bei 4) schwer geirrt, denn für dich ist es dann doch nicht offensichtlich, also noch ein Hinweis:

$\begin{eqnarray*} p^2-q^2 = (p^2-1)-(q^2-1) \end{eqnarray*}$ .

07.05.2019, 17:51

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Man kann sich auch direkt überlegen, dass bei Division einer Primzahl durch 24 nur die Reste $\begin{eqnarray*} \pm1,\pm 5, \pm 7, \pm11 \end{eqnarray*}$ auftreten können. Das führt dann wiederum auf $\begin{eqnarray*} p^2\equiv 1 \bmod 24 \end{eqnarray*}$ .

Oder man stützt sich auf den bekannteren Umstand, dass für eine Primzahl p>3 immer $\begin{eqnarray*} p\equiv 1 \bmod 6 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p\equiv 5 \bmod 6 \end{eqnarray*}$ gilt und bekommt wieder $\begin{eqnarray*} p^2\equiv 1 \bmod 24 \end{eqnarray*}$ .

07.05.2019, 17:58

schu

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Vielen Dank für deine Hilfe! Ich habe es verstanden smile

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