f-invarianter Unterraum

08.05.2019, 11:06	danooh203	Auf diesen Beitrag antworten »
f-invarianter Unterraum Hallo ich versuche folgende Aussage zu beweisen: Es sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum und $\begin{eqnarray} f \in End(V) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Es gibt ein $\begin{eqnarray} \{0\} \neq U \subseteq V \end{eqnarray}$ mit 1. $\begin{eqnarray} f(U) \subseteq U \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} dim U \leq 2 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wir wollen also zeigen, dass im o.g. Fall ein Unterraum mit Dimension 1 oder 2 existiert, der unter f invariant ist. Eindimensionale Unterräume solcher Art existieren doch genau dann, wenn $\begin{eqnarray} f(u)=\lambda u \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ => Eigenvektoren. Nur wie kann ich dies allgemein zeigen? Wirklich viele Informationen gibt die Aufgabenstellung m.M.n. nicht her Danke vorab!
08.05.2019, 12:47	danooh203	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab's nun hinbekommen mittels Fallunterscheidung: Fall 1: das char. Pol. hat eine reelle Nullstelle, dann greift meine Idee von oben. Fall 2: keine reelle Nullstelle, dann zerfällt das char. Pol. über den reellen Zahlen in quadratische Faktoren und wir finden mit einem passenden Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ unser $\begin{eqnarray} U= <v, f(v)> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dimU \leq 2 \end{eqnarray}$ Das Thema kann also gerne geschlossen werden.
08.05.2019, 12:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist vermutlich zielführend, aber warum genau ist $\begin{eqnarray} f(f(v))\in U \end{eqnarray}$ ? Und woher nimmst du ein passendes $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ?

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