Lineare Abbildung bestimmen durch gegebene Bedingung

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Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung bestimmen durch gegebene Bedingung
Bestimmen Sie die lineare Abbildung durch Angabe der zugehörigen 2×2 Matrix mit , welche die

a.) Spiegelung an der y-Achse
b.) Spiegelung an einer geraden durch den Ursprung beschreibt.


Meine Idee:
a.) Spiegelung an der y-Achse










b.) Spiegelung an einer geraden durch den Ursprung beschreibt.


Weil die Geradengleichung y=x.

Komm ich durchs gleiche Prinzip auf:

oder
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ist leider beides falsch.
Beim ersten behauptest Du speziell, dass das Bild des ersten Einheitsvektors wieder der erste Einheitsvektor ist. Wie sollte das bei einer Spiegelung an der y-Achse möglich sein?

Bei b) nimmst Du Dir eine spezielle Gerade her. Die Aufgabe war aber irgendeine Ursprungsgerade y=ax als Spiegelachse zu nehmen. Hier empfehle ich Dir die Wahl einer geeigneten Basis zur Beschreibung der Abbildung.
 
 
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Ist leider beides falsch.
Beim ersten behauptest Du speziell, dass das Bild des ersten Einheitsvektors wieder der erste Einheitsvektor ist. Wie sollte das bei einer Spiegelung an der y-Achse möglich sein?


Ja weil die x-koordinate ja unverändert ist und sich nur die y-koordinate ändert, oder werden die Werte für x gespiegelt ?


b.) Eine Basis für eine gerade durch den Ursprung wäre ja

Und wenn ich sie spiegel:




komm ich wieder aufs selbe:
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a)
Was Du beschreibst, ist die Spiegelung an der x-Achse. Der x-Wert bleibt dabei gleich, der y-Wert ändert sein Vorzeichen. Bei der Spiegelung an der y-Achse sieht das etwas anders aus.
Wo liegt z.B. der Spiegelpunkt zu (2,-1)?

Zu b)
Der Nullvektor ist niemals in einer Basis enthalten und Du bist gedanklich anscheinend immer noch bei der ersten Winkelhalbierenden. Es gibt aber noch unendlich viele andere Ursprungsgeraden.
Anders formuliert: Eine Ursprungsgerade enthält neben dem Ursprung einen weiteren Punkt, der nicht dem Ursprung entspricht. Welche Dimension hat eine solche Ursprungsgerade grundsätzlich?
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

a.)
Gut dann gilt also.







b.)
Dann hab ich ne Basis mit Variablen ?
Eine gerade hat 1 Dimension.






Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dir scheint irgendwie das Prinzip einer Spiegelung nicht klar zu sein.
Wenn ich einen Punkt auf dem Spiegel habe, wo befindet der sich nach der Spiegelung?

Was die Parameter angeht: Natürlich brauchst Du die. Wie willst Du sonst einen allgemeine Ursprungsgerade darstellen? Du kannst es Dir ein wenig einfacher machen, indem Du eine Koordinate vorgibst und nur die andere über den Parameter steuerst. Allerdings würde das dann eine der beiden Achsen ausschließen.
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

b.) Ich habs nun zumindest mit der Drehmatrix verstanden:



Spiegelung:



Aber wie man das mit den Vektoren macht:



Ich käme dann auf:




Aber es sollte sowas rauskommen:
?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann fangen wir also mit der schwierigeren Aufgabe an.
Eine Gerade durch den Ursprung hat entweder die Gleichung x=0 oder y=kx. Der ersten Fall wird in a abgehandelt, also bleibt nur der zweite.

Die Punkte auf der Geraden liegen auf dem Spiegel, also werden sie auf sich selbst abgebildet, d.h . Was Du brauchst ist ein zweiter Basisvektor. Dieser sollte senkrecht zum Spiegel liegen. Kannst Du damit etwas anfangen?
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