Bijektion konstruieren

08.05.2019, 18:55

lauramaria

Bijektion konstruieren

Meine Frage:
Auf der Menge X := Z × N>0 sei die folgende Relation betrachtet: (a,b) R (c,d) :<=> ad = bc.
- zeige dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt
- Konstruieren Sie eine Bijektion X/R --> Q

Meine Ideen:
die Äquivalenzrelation konnte ich zeigen. Aber ich weiß nicht wie man eine Bijektion konstruiert.

08.05.2019, 19:00

MaPalui

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Hi Lauramaria,

Steht doch wirklich $\begin{eqnarray*} X\setminus\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?
Das wäre der Definition von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nach nämlich einfach nur $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ verwirrt

08.05.2019, 19:09

Finn_

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Das ist die Quotientenmenge.

08.05.2019, 19:12

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von MaPalui
Steht doch wirklich $\begin{eqnarray*} X\setminus\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Es geht um den Quotienten $\begin{eqnarray*} X/R := \{ [x]_R \; | \; x \in X\} \end{eqnarray*}$ .

Die Aufgabe liefert eine mögliche Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen, nämlich als besagte Quotientenmenge (die dann über die Bijektion mit dem altbekannten $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ identifziert werden soll).

Die Idee ist, dass ein Paar $\begin{eqnarray*} (a,b) \in X \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl repräsentieren soll. Die Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sorgt dafür, dass man wie gewohnt "kürzen" kann.

Kandidat für die gesuchte Abbildung ist also $\begin{eqnarray*} f \colon X/R \to \mathbb Q, \quad [(a,b)]_R \mapsto \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ . Warum ist diese Abbildung wohldefiniert? Warum ist sie bijektiv?

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