Form der Jordanmatrix, Dimension des Eigenraums

09.05.2019, 00:16	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Form der Jordanmatrix, Dimension des Eigenraums Hallo Community, mich beschäftigt zur Zeit ein eigentlich sehr einfaches Thema, aber ich komme leider nicht weiter und bin mir sicher, ihr kennt euch da aus: Und zwar habe ich ein paper gelesen, wo eine Matrix $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ a_0 & 1+a_1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben ist. Es wird dann einfach mit der Jodanform $\begin{eqnarray} M = E \cdot J \cdot E^{-1} \end{eqnarray}$ weitergearbeitet und behauptet, dass J nur die Form $\begin{eqnarray} J = \begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}, \lambda_1 \neq \lambda_2 \end{eqnarray}$ und die Form $\begin{eqnarray} J = \begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ haben kann. Danach wird mit Fallunterscheidungen $\begin{eqnarray} \lambda \leq 0, \lambda \leq 2, \lambda > 2 \end{eqnarray}$ weitergearbeitet. Um die Details zu verstehen, habe ich mir nun folgende Fragen gestellt: 1.) Muss zu so einer Matrix M (wobei $\begin{eqnarray} a_0, a_1 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ sind) automatisch immer eine Jordanzerlegung mit reellen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und reellen Eigenvektoren bzw. Hauptvektoren existieren? (oder können da auch komplexe auftreten?) 2.) Ist die Matrix E bestehend aus Eigen- und Hauptvektoren immer automatisch sicher invertierbar? Auch diese Frage konnte ich mir bislang nicht beantworten. 3.) Wieso können nur die beiden behaupteten Fälle für J auftreten? Dazu habe ich mir Folgendes überlegt: Ich habe das char. Polynom von M bestimmt und bin auf $\begin{eqnarray} \lambda_1 = \lambda_2 =: \lambda \Leftrightarrow \frac{(a_1+1)^2}{4} = -a_0 \end{eqnarray}$ gekommen. In diesem Fall ist $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{a_1+1}{2} \end{eqnarray}$ Anschließend habe ich versucht, die geometrische Vielfachheit von $\begin{eqnarray} {a_1+1}{2}=\lambda \end{eqnarray}$ zu bestimmen. (Weil die algebraische Vfh. 2 ist, muss die geometrische jetzt auch 2 sein, damit die Behauptung stimmt, dass nur die beiden obigen Formen für J auftreten können. Um die geometrische Vft. zu bestimmen, muss man doch nun die Dimension des Eigenraumes, also den Rang von $\begin{eqnarray} M - \lambda \cdot I = \begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\ - \lambda^2 & \lambda\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestimmen, soweit ich das in Erinnerung bzw. im Internet gefunden habe. Das schaffe ich nun aber leider nicht. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir bei dieser Angelegenheit auf die Sprünge helft, damit ich auch die im paper nicht angeführten Hintergründe der dort übersprungenen Zwischenschritte verstehe. Herzlichen Dank im Voraus!
09.05.2019, 13:16	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Form der Jordanmatrix, Dimension des Eigenraums Hallo, Du kannst die rechnerischen Aspekte Deiner Aufgabenstellung mal mit https://www.geogebra.org/m/upUZg79r abgleichen. Da würde ich 1+a1=a11 setzen um eine übersichtlichere Ausgabe zu erhalten A:={{0,1},{a0,a11}} Vielleicht hilft das schon weiter?
09.05.2019, 14:08	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo hawe, danke für den Link! Er hat mir geholfen, zu kontrollieren. Zu 3) habe ich für das Verständnis noch folgende Frage: Und zwar habe ich den Eigenvektor (also Hauptvektor 1. Stufe) von $\begin{eqnarray} M-\lambda \cdot I \end{eqnarray}$ berechnet. Es gibt nur einen solchen Eigenvektor (und natürlich unendlich viele, wenn man seine Vielfache dazuzählt), also ist die Dimension des Eigenraums gleich 1 und somit die geometrische Vfht. gleich 1. Wäre meine ursprüngliche Frage bei 3) also geklärt. Nun habe ich aber versucht, den Hauptvektor 2. Stufe zu bestimmen, den es ja geben muss, weil wir alg. Vfht. 2 haben und weil sonst die Jordanzerlegung nicht funktionieren würde. Also gut, es ist aber $\begin{eqnarray} (M-\lambda)^2 = 0 \end{eqnarray}$ . Was sagt es uns nun, dass die Dimension des Hauptraumes 2. Stufe gleich 0 ist? Und bedeutet das, dass sowohl $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (und natürlich alle Vielfache davon) Hauptvektoren 2. Stufe sind? Heißt das, es gibt 3 Hauptvektoren 2. Stufe oder wie ist das definiert? (Bei Geogebra ist als Hauptvektor ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ angegeben.)
09.05.2019, 19:34	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab Deine Zusammenstellung nicht komplett durchdacht - könnte es sein, das da noch was fehlt? Für eine Basis des Eigenraumes genügen 2 Eigenvektoren - d.h. wenn alg. Vielfachheit = geom. Vielfachheit. Es muss also untersucht werden für welche Lambda eine Hauptvektorsuche notwendig wird und da wird für mich das einfache Thema zu aufwändig. Wenn jemand eine zündende Idee hat - her damit....

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »