Skalarprodukt im Mehrdimensionalen

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09.05.2019, 09:08	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt im Mehrdimensionalen Meine Frage: Guten Tag Community, ich habe 3 Funktionen gegeben: f : R^3-->R^3, (x y z) --> (x^2-y , y , z^2 ) g : R^2 x ]0,unendlich[-->R^3, (x y z) --> (y , y-x^2 , z^(sin(xy)) h(x,y,z)= <f(x,y,z),g(x,y,z)> Aufgabe:grad h berechnen. Ansatz: grad h= $\begin{eqnarray} <br /> <<br /> \begin{pmatrix} <br /> 2x & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2z\end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix}<br /> 0 & 1 & 0 \\ -2x & 1 & 0 \\ yz^{sin(xy)}ln(z)cos(xy) & xz^{sin(xy)}ln(z)cos(xy) & z^{sin(xy)}sin(xy) <br /> \end{pmatrix} <br /> ><br /> \end{eqnarray}$ Ich habe zuerst jede Zeile nach x,y und z abgeleitet, für die Funktion f sowie für g. Wie berechne ich die Norm ? ich weist nicht wie ich genau mit dem Skalarprodukt umgehen soll bei so einem Beispiel. Schon mal Vielen Dank Im Voraus^^ Mit Freundlichen Grüßen, Jonaaa Meine Ideen:* <--
09.05.2019, 10:16	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal ist definitionsgemäß $\begin{eqnarray} \nabla\langle f,g\rangle = \sum_{k=1}^3 (\partial_k\langle f,g\rangle)\mathbf e_k. \end{eqnarray}$ Für die partielle Ableitung gilt $\begin{eqnarray} \partial_k \langle f,g\rangle = \partial_k\sum_{i=1}^3 f_i g_i = \sum_{i=1}^3 \partial_k (f_i g_i) = \sum_{i=1}^3 g_i\partial_k f_i+\sum_{i=1}^3 f_i\partial_k g_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \langle g,\partial_k f\rangle + \langle f,\partial_k g\rangle. \end{eqnarray}$ Demanch ergibt sich $\begin{eqnarray} \nabla\langle f,g\rangle = \sum_{k=1}^3 \langle g,\partial_k f\rangle\mathbf e_k + \sum_{k=1}^3\langle f,\partial_k g\rangle\mathbf e_k. \end{eqnarray}$ Weil definitionsgemäß $\begin{eqnarray} (Av)_k=\sum\nolimits_i A_{ki} v_i \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} (Df)_{ij}=\partial_j f_i \end{eqnarray}$ die Jacobi-Matrix, ergibt sich aber $\begin{eqnarray} \langle \partial_k f,g\rangle = \sum_{i=1}^3 (\partial_k f_i)g_i = \sum_{i=1}^3 (Df)_{ik} g_i = ((Df)^T g)_k. \end{eqnarray}$ Man erhält $\begin{eqnarray} \nabla\langle f,g\rangle = (Df)^T g + (Dg)^T f. \end{eqnarray}$
09.05.2019, 11:20	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen herzlichen Dank für deine Antwort^^ bei $\begin{eqnarray} (Df)^{T} \end{eqnarray}$ muss ich da einfach die Jacobi-Matrix ausrechnen? Weil du beschrieben hast $\begin{eqnarray} (Df)=\partial f \end{eqnarray*}$ .
09.05.2019, 11:22	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann * g rechnen ?
09.05.2019, 12:29	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Expandiert sieht das so aus: $\begin{eqnarray} (Df)^T g = \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \partial_2 f_1 & \partial_3 f_1\\ \partial_1 f_2 & \partial_2 f_2 & \partial_3 f_2\\ \partial_1 f_3 & \partial_2 f_3 & \partial_3 f_3 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix}g_1 \\ g_2\\ g_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \partial_1 f_1 & \partial_1 f_2 & \partial_1 f_3\\ \partial_2 f_1 & \partial_2 f_2 & \partial_2 f_3\\ \partial_3 f_1 & \partial_3 f_2 & \partial_3 f_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}g_1 \\ g_2\\ g_3\end{pmatrix}. \end{eqnarray}$
09.05.2019, 12:37	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Der einfachste Weg scheint mir doch, erst mal $\begin{eqnarray} h(x,y,z) \end{eqnarray}$ auszurechnen. Das Ergebnis ist recht kurz. Danach berechnet man $\begin{eqnarray} \nabla h \end{eqnarray}$ .
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09.05.2019, 14:56	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke euch^^ #Huggy Wenn man h(x,y,z) ausrechnen will muss ich doch das skalar bilden von g und f richtig?^^
09.05.2019, 15:23	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn so ist $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ definiert. Und es ergibt sich, wenn ich mich nicht vertan habe, ein ganz kurzer Term.
09.05.2019, 15:33	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Finn, Das hätte ich als Ergebnis raus^^(Anhang)
09.05.2019, 15:39	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
#Huggy Du hast völlig recht^^ Bei mir kommt h(x,y,z)= $\begin{eqnarray} z^{2+sin(xy} \end{eqnarray*}$
09.05.2019, 15:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei mir auch.
09.05.2019, 15:53	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
#Huggy Vielen Dank für deine Hilfe mit deiner Methode bin ich aufs gleiche Ergebnis gekommen mit viel weniger Aufwand (3 Zeilen statt 2 Seiten ;D)
09.05.2019, 16:02	Jonaaa	Auf diesen Beitrag antworten »
#Finn Ist das eigentlich die Produktregel die du aufgeschrieben hast?^^ Also grad(f*g).

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