Lineare Unabhängigkeit von Funktionen

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Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Funktionen
Hallo,

zusammen,ich wäre euch für eure Unterstützung sehr dankbar, denn ich bin mir unsicher...

Aufgabe ist es:Zeigen Sie, dass die Funktionen f(x)=x und g(x)=x^2 linear unabhängig sind.

Dabei sagt die aufgabenstellung, dass f,g element des VR Abb(R,R)={f|f:R-->R} sind.

Vorgehen ist bis hierhin klar:

Lambda1*f(x)+ lambda2*g(x)=0
Lambda1*(x)+lambda2*(x^2)=0

Jetzt gilt doch für alle x, dass die Bedingung der l.u. nur für die triviale Lösung, d.,h., alle lambda =0 erfüllt sein darf

Wähle ich als Bsp. Nun x=0 So kann ich lambda beliebig wählen. Dann liegt doch keine l.u. vor.

Vielen Dank schon mal an die fleißigen Helfer.

VG gast42
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit von funktionen
Deine Gleichung



mag unabhängig davon, wie man die wählt, erfüllt sein, wenn man setzt, ja. Das ist banal.

Was ist aber, wenn ist? Setz da doch mal andere Werte für ein und schau, was sich ergibt.

Anders ausgedrückt: Angenommen, es gäbe passende (fest gewählte und von verschiedene) , sodass obige Gleichung für alle erfüllt wäre:

Ließe sich das eventuell zu einem Widerspruch führen, indem du mal zwei von verschiedene Werte für einsetzt und schaust, was sich ergibt?
 
 
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke,

Setze ich nun x=1 ein, so ergibt sich

[\latex]\lambda1* 1+lambda2*1^2[/latex] also lambda1=-1 und lambda2=1 dann ergibt es null.

Also sind die Funktionen linear abhängig, da triviale Lösung für lambda nicht erfüllt um die nullfunktion zu erhalten. R
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also sind die Funktionen linear abhängig, da triviale Lösung für lambda nicht erfüllt um die nullfunktion zu erhalten. R

Das ist kein sinnvoller Satz. Und ich verstehe deine Schlussfolgerung auch nicht. Ich rate zu etwas mehr Sorgfältigkeit, vor allem bei der Formulierung.

Offenbar ist auch noch nicht wirklich klar geworden, was lineare Unabhängigkeit bei Funktionen bedeutet. Besteht der Vektorraum aus Funktionen, dann ist der Nullvektor die Nullfunktion, sprich die Funktion, die jedes auf die abbildet, also die Funktion



Du hast nun die beiden Funktionen und gegeben. Deine Linearkombination



muss für alle zugleich eine nichttriviale Lösung (also alles außer besitzen, damit diese beiden Funktionen linear abhängig sind. Das heißt, du müsstest feste finden, sodass diese Gleichung erfüllt ist, egal, was du für einsetzt.

Das wird dir aber nicht gelingen. Probier da mal ein bisschen rum. Ich hatte doch auch dazu geraten, mal mehr als nur einen Wert für einzusetzen und die sich ergebenden Gleichungen zu betrachten. Dem bist du bisher nicht nachgegangen.

Wie gesagt: Versuch nochmal, dir genau klar zu machen, was lineare Unabhängigkeit bedeutet. Wenn da noch was unklar ist, will ich gerne versuchen, da zu helfen.
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry für die verspätete Antwort.

Also wenn ich z.B.

Angenommen die Funktionen sind linear abhängig, dann erfüllen sie die Bedingung für alle .


Zeige durch Widerspruch:

Wähle hier drei Werte des Definitionsbereiches und setze ein:

wähle, dann ergeben sich folgende drei Gleichungen:








Für mindestens zwei ist gezeigt, dass für die Koeffizienten keine gemeinsame Lösung existiert, die auf den Funktionswert null abbildet. Damit ist die triviale Lösung einzige Lösung. Folglich ergibt sich ein Widerspruch und obige Annahme ist zu verwerfen. Die Funktionen sind linear unabhängig.

Ist das so korrekt?

Schon einmal vielen Dank für deine Hilfe.

Freude

Grüße Gast42
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast42
Angenommen die Funktionen sind linear abhängig, dann erfüllen sie die Bedingung für alle .

Nein, erfüllen sie nicht. Setz mal z.B. ein. Das ist auch nicht der Punkt.

Zitat:
Original von Gast42
Wähle hier drei Werte des Definitionsbereiches und setze ein:

wähle, dann ergeben sich folgende drei Gleichungen:




Deine dritte Gleichung habe ich beim Zitat weggelassen, denn die liefert keine zusätzlichen Erkenntnisse. Belassen wir es also im Folgenden hierbei.

Zitat:
Für mindestens zwei ist gezeigt, dass für die Koeffizienten keine gemeinsame Lösung existiert, die auf den Funktionswert null abbildet.

Das ist wieder so eine Aussage, der ich nicht wirklich folgen kann. Wobei ich gar nicht ausschließen will, dass du etwas inhaltlich richtiges meintest, aber in dieser Form wird das leider nicht wirklich klar. Für mich ergibt diese Formulierung keinen wirklichen Sinn.

Es ist doch so: Deine erste Gleichung liefert die Erkenntnis:



Dafür gibt es erst einmal noch unendlich viele Lösungen.

Deine zweite Gleichung liefert jedoch zusätzlich:



Klar ist, dass beides zugleich nur erfüllt sein kann, wenn ist. Das hast du ja offenbar auch gesehen. Daraus folgt, dass die beiden Funktionen linear unabhängig sind. Aber nach wie vor bin ich nicht sicher, ob du das wirklich vollständig verinnerlicht hast.

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Nochmal ein Versuch der Erklärung:

Die beiden Funktionen und sind linear unabhängig, wenn aus



folgt, dass sein muss. Soweit die Definition.

Du musst aber unbedingt beachten, dass es sich bei der von mir rot markierten nicht um die Zahl handelt, sondern um das Nullelement dieses Vektorraumes . Und das ist die Nullfunktion.

In andere Gefilde stoßen wir vor, wenn wir jetzt konkret einsetzen, was das bedeutet. Also die konkreten Funktionsvorschriften von und hernehmen. Angenommen, und sind linear unabhängig. Das bedeutet dann:

Gilt für alle , dann folgt daraus, dass sein muss. Hier steht die nun tatsächlich für den Funktionswert .

Da muss man ganz sauber unterscheiden und das auch deutlich machen. Gerne wird das so gemacht, dass man z.B. einmal das Symbol verwendet, wenn auch wirklich die Zahl gemeint ist, und andererseits z.B. die Symbolik , wenn gerade das Nullelement des Vektorraumes gemeint ist. Dann kann auch der geneigte Leser sehen, dass der Unterschied klar ist. Ist kein Zwang, aber vielleicht hilft es dir ja, den Überblick zu behalten.
Gast42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mulder,

ja, ich habe es verstanden. Vielen Dank dir für deine Geduld und Bemühungen. Mit Funktionen hatte ich im Zusammenhang mit der linearen Unabhängigkeit noch nicht gearbeitet.

Danke dir vielmahls Gott

VG Gast42
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