Gradient,Funktionen

09.05.2019, 21:11

Jonaaa

Gradient,Funktionen

Meine Frage:
Hey,

ich stehe grad vor dieser Aufgabe:
Bestimme alle Funktionen G:R^2-->R, so dass
grad G = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+2 \\ x+y+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Die erste Zeile des Gradienten ist die Ableitung von G nach x also:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial x}=x+2 \end{eqnarray*}$
und die zweite Zeile dementsprechend nach y:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial y}= x+y+1 \end{eqnarray*}$

Von der Ableitung zurück auf die normale Funktionen muss ich integrieren:
$\begin{eqnarray*} F_1(x,y)\int x+2*dx=1/2*x^{2}+2x+c(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_2(x,y)=\int x+y+1*dy=1/2*y^{2}+c(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{gesamt}=\frac{1}{2}*x^{2}+2x+\frac{1}{2}*y^{2}+c , c \in R \end{eqnarray*}$
-->wenn ich die beiden Funktionen zusammenfüge und $\begin{eqnarray*} F_{gesamt} \end{eqnarray*}$ habe kann ich dann als Begründung angeben unendlich viele weil c ja jeden Wert haben kann( $\begin{eqnarray*} c \in R \end{eqnarray*}$ ).

Schonmal Vielen Dank Im Voraus^^

09.05.2019, 22:10

klauss

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RE: Gradient,Funktionen
$\begin{eqnarray*} F_{gesamt} \end{eqnarray*}$ kann nicht die Lösung sein, denn wie die Probe leicht erweist, liefert deren partielle Ableitung nach y nicht die 2. Komponente von grad G.
M. E. konnte allein deshalb schon nicht die richtige Lösung rauskommen, weil Dein Rechenweg unpassend war.

Ungeachtet dessen frage ich mich aber, ob die Aufgabe wirklich so gestellt ist. Denn wenn ich grad G als Vektorfeld betrachte, müßte eine Potentialfunktion G existieren, doch dafür ist die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial y}v_{1}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}v_{2}(x,y) \end{eqnarray*}$
nicht erfüllt.

Oder verbirgt sich hier noch mehr dahinter?

10.05.2019, 05:56

Jonaaa

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RE: Gradient,Funktionen
hey Klauss,

erstmal vielen Dank für deine Antwort.
ja die Frage ist soweit richtig gestellt^^.
Dafür habe ich das c(x) aufgeschrieben.

Mit Freundlichen Grüßen, Jonaaa

10.05.2019, 08:48

Huggy

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RE: Gradient,Funktionen

Zitat:

Original von klauss
M. E. konnte allein deshalb schon nicht die richtige Lösung rauskommen, weil Dein Rechenweg unpassend war.

Der Rechenweg ist schon passend, wenn es eine Potentialfunktion gibt. Allerdings gibt es hier keine, wie du richtig bemerkst:

Zitat:

Ungeachtet dessen frage ich mich aber, ob die Aufgabe wirklich so gestellt ist. Denn wenn ich grad G als Vektorfeld betrachte, müßte eine Potentialfunktion G existieren, doch dafür ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial y}v_{1}(x,y)= \frac{\partial}{\partial x}v_{2}(x,y) \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt.

Diese Integrabilitätsbedingung sollte man immer überprüfen, bevor man eine Potentialfunktion sucht. Dass es keine gibt, wäre auch mit dem Rechenweg aufgefallen, wenn man die zweite Komponente korrekt integriert. Es ist

$\begin{eqnarray*} \int (x+y+1)dy =xy+ \frac 1 2 y^2+y + d(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt verhindert der Term $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ , dass man die beiden Integrale zu einer Potentialfunktion kombinieren kann. Er kann nicht in $\begin{eqnarray*} c(y) \end{eqnarray*}$ stecken, weil er auch von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig ist.

10.05.2019, 16:41

Jonaaa

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RE: Gradient,Funktionen
Hey Huggy, nochmals vielen Dank für deine Ratschläge.

Wie könnte ich dann fortfahren bzw. welchen Ansatz sollte ich wählen, um alle Funktionen zum Gradient G zu bestimmen?

10.05.2019, 19:11

Huggy

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RE: Gradient,Funktionen
Gar nicht! Die Antwort lautet: Zu dem gegebenen Vektorfeld gibt es keine skalare Funktion, deren Gradient sie ist.

Entweder war es Sinn der Aufgabe zu zeigen. dass nicht jedes Vektorfeld Gradient einer skalaren Funktion ist oder jemand hat sich bei dem Feld verschrieben.

10.05.2019, 19:24

Jonaaa

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RE: Gradient,Funktionen
Oke, ergibt Sinn Big Laugh

Ich werde nochmal nachfragen.

#Huggy Danke

10.05.2019, 20:09

klauss

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RE: Gradient,Funktionen

Zitat:

Original von Huggy
Der Rechenweg ist schon passend, wenn es eine Potentialfunktion gibt.

Ich hatte ursprünglich auf was anderes abgezielt; hat sich dann erledigt, da ich auf die maue Integration der 2. Komponente nicht mehr so geachtet habe. Danke.

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