Random Walk |
10.05.2019, 08:42 | Marcus 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Random Walk Mit der Wahrscheinlichkeit p bewegt er sich nach rechts, mit q = 1 - p nach links. a_n ist die Warhscheinlichkeit, dass der Punk x=T erreicht, wenn er sich im Punkt x=n befindet. Damit gilt die Rekursion a_0 = 0, a_T = 1 und a_n = p * a_(n-1) + q * a_(n+1) Damit hat man a_(n+1) = (1/p) * a_n - (q/p) * a_(n-1) ) Wie startet diese Rekursion denn ? Ich müsste doch etwa a_0 und a_1 kennen um a_2 berechnen zu können ? Das charakterische Polynom müsste doch P(x) = 1 - (1/p) * x + (q/p) * x^2 lauten. (ist das richtig?) Die Nullstellen des Polynoms sind Damit müsste die Lösung doch so aussehen: a_n = C1 * x1^n + C2 * x2^n Da kann ich jetzt n=0 und n=T verwenden, um C1 und C2 zu ermitteln. n = 0 liefert 0 = C1 + C2 also C2 = -C1 Für n = T kriege ich aber trotzdem einen wuchtigen Ausdruck ! Ist das richtig ??? Und noch etwas: für p=q=1/2 erhalte ich eine doppelte Nullstelle. Da müsste ich doch hnoch eine Fallunterscheidung machen ? Kann mir jemand sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin ? |
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10.05.2019, 09:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Random Walk
Meinst du das in dem Sinne, dass der Punkt x=T irgendwann erreicht wird? In dem Fall macht allerdings keinen Sinn, denn im Fall wäre ganz sicher . EDIT: Oder reden wir hier (im Gegensatz zum üblichen Random Walk auf ) von absorbierenden Zuständen und ? |
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10.05.2019, 09:45 | Marcus 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a_0 = 0 und a_T = 1 sind in der Aufgabe vorgegeben. Deshalb handelt es sich wohl um einen absorbierenden random walk. |
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10.05.2019, 10:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na Ok, dann ist das mit dem wohl soweit in Ordnung. Die Lösungen deiner charakteristischen Gleichung lassen sich enorm vereinfachen: Es ist , es geht somit um , das sind die beiden Lösungen und . Somit ist dann im Fall , sieht so schrecklich nicht aus. Für bekommst du eine Doppelnullstelle mit allgemeiner Lösung deiner Differenzengleichung, was mit den Randwerten zu und führt, also . Kommt übrigens auch heraus, wenn man in der anderen Formel den Grenzübergang vollzieht. |
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10.05.2019, 13:32 | Marcus 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass sich 1 - 4pq so schön auflöst, das hatte ich übersehen ! Und auch der Grenzübergang nach p = 1/2 ist mit L'Hospital kein Problem. Erstaunlich, wie elegant sich dieser Random Walk lösen lässt. Die Tatsache, dass man die Rekursion gar nicht "sequentiell" auflösen kann (weil man keine zwei aufeinanderfolgende a_n hat), spielt überhaupt keine Rolle ! |
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