Random Walk

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Marcus 99 Auf diesen Beitrag antworten »
Random Walk
Ein Punkt bewegt sich auf der x-Achse um eine Einheit nach rechts oder nach links zwischen den Punkten x=0 und x=T.

Mit der Wahrscheinlichkeit p bewegt er sich nach rechts, mit q = 1 - p nach links.

a_n ist die Warhscheinlichkeit, dass der Punk x=T erreicht, wenn er sich im Punkt x=n befindet.

Damit gilt die Rekursion a_0 = 0, a_T = 1 und a_n = p * a_(n-1) + q * a_(n+1)

Damit hat man a_(n+1) = (1/p) * a_n - (q/p) * a_(n-1) )

Wie startet diese Rekursion denn ? Ich müsste doch etwa a_0 und a_1 kennen um a_2 berechnen zu können ?

Das charakterische Polynom müsste doch

P(x) = 1 - (1/p) * x + (q/p) * x^2

lauten. (ist das richtig?)

Die Nullstellen des Polynoms sind



Damit müsste die Lösung doch so aussehen:

a_n = C1 * x1^n + C2 * x2^n

Da kann ich jetzt n=0 und n=T verwenden, um C1 und C2 zu ermitteln.

n = 0 liefert 0 = C1 + C2 also C2 = -C1

Für n = T kriege ich aber trotzdem einen wuchtigen Ausdruck ! Ist das richtig ???

Und noch etwas: für p=q=1/2 erhalte ich eine doppelte Nullstelle. Da müsste ich doch hnoch eine Fallunterscheidung machen ?

Kann mir jemand sagen, ob ich auf dem richtigen Weg bin ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Random Walk
Zitat:
Original von Marcus 99
a_n ist die Warhscheinlichkeit, dass der Punk x=T erreicht, wenn er sich im Punkt x=n befindet.

Meinst du das in dem Sinne, dass der Punkt x=T irgendwann erreicht wird? In dem Fall macht allerdings keinen Sinn, denn im Fall wäre ganz sicher . verwirrt

EDIT: Oder reden wir hier (im Gegensatz zum üblichen Random Walk auf ) von absorbierenden Zuständen und ?
Marcus 99 Auf diesen Beitrag antworten »

a_0 = 0 und a_T = 1 sind in der Aufgabe vorgegeben. Deshalb handelt es sich wohl um einen absorbierenden random walk.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na Ok, dann ist das mit dem wohl soweit in Ordnung. Die Lösungen deiner charakteristischen Gleichung lassen sich enorm vereinfachen: Es ist , es geht somit um , das sind die beiden Lösungen und .

Somit ist dann im Fall , sieht so schrecklich nicht aus. Augenzwinkern


Für bekommst du eine Doppelnullstelle mit allgemeiner Lösung deiner Differenzengleichung, was mit den Randwerten zu und führt, also . Kommt übrigens auch heraus, wenn man in der anderen Formel den Grenzübergang vollzieht. Augenzwinkern
Marcus 99 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass sich 1 - 4pq so schön auflöst, das hatte ich übersehen !

Und auch der Grenzübergang nach p = 1/2 ist mit L'Hospital kein Problem.

Erstaunlich, wie elegant sich dieser Random Walk lösen lässt. Die Tatsache, dass man die Rekursion gar nicht "sequentiell" auflösen kann (weil man keine zwei aufeinanderfolgende a_n hat), spielt überhaupt keine Rolle !
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