Hammingkugel

10.05.2019, 13:03

Gtg123

RE: Hammingkugel

Meine Frage:
Hallo,
habe ein kleines Problem mit einem Beweis. Stehe total auf dem Schlauch und habe überhaupt keinen Ansatz.

Frage:

Sei p eine Primzahl und n ist Natürlichezahl. Zeigen Sie, dass für ein beliebiges Paar von Vektoren v,w in Fp^n stets gilt für :

|B1(v,(Fp)n) und B1(w,(Fp)n)| liegt in {0,2,p,1+ n (p-1)}.

Meine Ideen:
Habe leider keine Ideen.

Korrekturen aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

12.05.2019, 15:23

ByeBitch!

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v und w ist der Mittelpunkt
=> Abstand v, w (|Fn²|),

z.B. ist $\begin{eqnarray*} F_{3}² = { \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Also ist:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist zumindest der Hinweis, den wir dazu bekommen haben. Warum (1,0) + (2,0) = (0,0) bleibt auch im Dunkeln. Vielleicht weil 1 + 2 = 3 ist und der Rest zu 3 dann gleich 0.

Bist du denn schon weiter gekommen?

12.05.2019, 17:50

Gtg123

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Nein leider nicht....

ich habe zwei Fälle gefunden. Näamlich, dass für F2^1 gilt |B1(v,(Fp)n) und B1(w,(Fp)n)| = 2 und für alle andere falle git 1+n*(p-1).

Ich kann aber nicht herausfinden, wie das |B1(v,(Fp)n) und B1(w,(Fp)n)| = 0 oder p sein könnte...

12.05.2019, 19:10

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Wenn es $\begin{eqnarray*} x\in B_1(v,(F_p)^n) \cap B_1(w,(F_p)^n) \end{eqnarray*}$ gibt, dann folgt $\begin{eqnarray*} d(v,w)\leq 2 \end{eqnarray*}$ .
Wenn also $\begin{eqnarray*} d(v,w)> 2 \end{eqnarray*}$ , dann ist der Durchschnitt der beiden Kugeln leer.

Ist $\begin{eqnarray*} d(v,w)=0 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} |B_1(v,(F_p)^n) \cap B_1(w,(F_p)^n)|=|B_1(w,(F_p)^n)|=1+n(p-1) \end{eqnarray*}$

12.05.2019, 20:09

Gtg123

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URL könntest du mir sagen genauer wie bist du draug gekommen?

12.05.2019, 20:12

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Die Dreiecksungleichung liefert direkt die erste Abschätzung.
$\begin{eqnarray*} |B_1(w,(F_p)^n)| \end{eqnarray*}$ kann man einfach abzählen. Wenn du es nicht direkt siehst, betrachte die Fälle n=1, n=2

12.05.2019, 20:32

Gtg123

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Wie viel Elementen liegen in |B1(w,(Fp)n)|? wie berechne ich das ?

Ich sehe schon alles waas du gemeint hast, ich habe noch Problem das irgendwie Allgemein aufzuschreiben. Vielleicht noch ein Tipp ? smile

12.05.2019, 20:37

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Ist $\begin{eqnarray*} x\in B_1(w,(F_p)^n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq w \end{eqnarray*}$ , dann unterscheiden sich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ in genau einer Koordinate, z.B. der ersten. Also kann $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ alle möglichen Werte aus $\begin{eqnarray*} F_p \end{eqnarray*}$ annehmen, außer $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ . Das sind $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ mögliche Werte.

12.05.2019, 20:50

Gtg123

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Aber was bringt mir p-1?

Wenn ich z.b. F2^2 habe:

v =(0,0) dann im B1 liegen {(0,0),(0,1), (1,0)} <=========== gibt es Formel für diese Anzahl?
w =(0,1) dann im B1 liegen {(0,0),(0,1), (1,1)}

Also gilt 1+n(p-1) = 1+2*1=3 ========> Wie komme ich auf diese Ergebniss ? Soll ich einfach Anzahl allen Vektoren addieren und durch 2 Teilen?

12.05.2019, 20:52

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Du hast doch n Koordinaten, für jede gibt es p-1 mögliche Werte, macht in Summe n(p-1)

12.05.2019, 21:02

Gtg123

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Okey habe ich verstanden smile

Und was mit d(v,w)>0, wie zeigen, dass keine Vektor aus B1(v) im B1(w) liegt ?

12.05.2019, 21:04

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