Integralrechnung - Produkt-zu-Summe (Kosinus)

11.05.2019, 17:25	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung - Produkt-zu-Summe (Kosinus) Guten Tag, ich bin zwar auf eine Lösung gekommen, bin mir jedoch nicht ganz sicher ob das alles so richtig ist, was ich da gemacht habe. Ich würde mich freuen wenn jemand drüber schauen könnte, das war irgendwie zu einfach hab sicher irgendwo was übersehen/falsch gemacht. (a) Herleitung von $\begin{eqnarray} \ cos(a)\cdot cos(b)= \frac{1}{2}(cos(a+b)+cos(a-b)) \end{eqnarray}$ mittels Additionstheorem des Kosinus. Ohne Probleme. (b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) für alle $\begin{eqnarray} m,n~\in\mathbb{N_0} \end{eqnarray}$ das Integral $\begin{eqnarray} ~\int_0^{2\pi}{cos(mt)\cdot cos(nt)~dt} \end{eqnarray}$ . Meine Lösung: Zu allererst ist hier doch eine Fallunterscheidung nötig oder? Ich habe dann die Fälle: Fall 1: $\begin{eqnarray} m=n=0 \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} m=n\neq 0 \end{eqnarray}$ Fall 3: $\begin{eqnarray} m\neq n \end{eqnarray}$ für Fall 1: $\begin{eqnarray} \ \int_0^{2\pi}{cos(mt)\cdot cos(nt)~dt}~=~\frac{1}{2}~\int_0^{2\pi}{cos(mt+nt)+cos(mt-nt)~dt}~=\int_0^{2\pi}{cos(0)}~dt~=\int_0^{2\pi}{1}~dt~=2\pi \end{eqnarray}$ für Fall 2: $\begin{eqnarray} ~\frac{1}{2}\left(\int_0^{2\pi}{cos(2mt)~dt}+\int_0^{2\pi}{cos(0)~dt}\right)~=~\frac{1}{2}\left(~\underbrace{\left[~sin(u)~\right]_0^{4\pi m}}_{\substack =0}~+2\pi \right)~=\pi \end{eqnarray}$ für Fall 3: $\begin{eqnarray} ~\frac{1}{2}\left(\int_0^{2\pi}{cos(mt+nt)~dt}+\int_0^{2\pi}{cos(mt-nt)~dt}\right)~=~\frac{1}{2}\left(\underbrace{\frac{1}{m+n}\cdot\left[sin(u)\right]_0^{2\pi( m+n)}+\frac{1}{m-n}\cdot\left[sin(v)\right]_0^{2\pi (m-n)}}_{\substack =0}\right)=0 \end{eqnarray}$ Ist das korrekt? Ich würde sagen ja, da der Sinus ja an der Stelle $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ und an ganzzahligen Vielfachen dieser Stelle 0 ist. Vielen Dank schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen SM!LE
11.05.2019, 22:14	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu SM!LE, sieht gut aus! Wieso so unsicher? Viele Grüße
12.05.2019, 12:10	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay super vielen Dank Das erschien mir irgendwie zu einfach, deswegen war ich etwas verunsichert. Ich komme eigentlich aus der Elektrotechnik und wusste nicht ob man noch separat nachweisen muss, dass der Sinus an der Stelle $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ und an ganzzahligen Vielfachen der Stelle 0 ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »