Stellen bestimmen, an denen eine Funktion differenzierbar ist

13.05.2019, 22:03	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Die Abbildung $\begin{eqnarray} f: \mathbb R ^{2} \to \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} f(x):=\{\begin{pmatrix} (\|x_{1}\|^{x_2}, x_{1}+x_{2})^{T}, falls x_{1}\neq 0\\ (0,x_{2})^{T}, falls x_{1}=0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen sie alle Stellen, an denen f differenzierbar ist und berechnen sie die Ableitungen an diesen Stellen. (Bei der Funktionsgleichung sollte statt den Vektorklammern vorne eine geschweifte Klammer stehen und hinten keine. Aber leider habe ich dies nicht hinbekommen...) Meine Ideen: Ich weiß leider nicht, wie ich die Stellen bestimme, an denen f differenzierbar ist. Die Ableitungen berechnen sollte ich dann hinbekommen. Aber das geht ja leider ohne den ersten Teil nicht. Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen. Meine Idee wäre es 6 Fälle zu unterscheiden: 1. $\begin{eqnarray} x_{1}\neq 0, x_{2}\neq 0, x_{1}\neq x_{2} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ linear unabhängig 2. $\begin{eqnarray} x_{1}\neq 0, x_{2}\neq 0, x_{1}\neq x_{2} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ linear abhängig 3. $\begin{eqnarray} x_{1}\neq 0, x_{2}\neq 0, x_{1}= x_{2} \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} x_{1}=0, x_{2}\neq 0 \end{eqnarray}$ 5. $\begin{eqnarray} x_{1}=0, x_{2}= 0 \end{eqnarray}$ 6. $\begin{eqnarray} x_{1}\neq 0, x_{2}=0 \end{eqnarray}$ Aber ich habe absolut keine Ahnung, ob das stimmt und wie genau ich anhand dieser Fallunterscheidung prüfen kann, an welchen Stellen die Funktion stetig ist. Drei Beiträge zusammengefasst. Steffen
14.05.2019, 12:56	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal: Eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ besteht aus 2 Teilfunktionen $\begin{eqnarray} (f_1, f_2) \end{eqnarray}$ , jede von ihnen $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist definitionsgemäß genau dann in einem Punkt differenzierbar, wenn beide Teilfunktionen in diesem Punkt differenzierbar sind. Nun ist die Teilfunktion $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ offensichtlich überall differenzierbar. Man muss also nur noch die Teilfunktion $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ untersuchen. Da ist eine Fallunterscheidung angebracht. Die kann aber kürzer sein als bei dir. Man sollte folgendes benutzen: (1) Stetig partiell differenzierbar $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ differenzierbar Damit lässt sich schon mal der größte Teil des Definitionsbereichs abhandeln. (2) Differenzierbar $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Existenz aller Richungsableitungen, Existenz aller partiellen Ableitungen (aber nicht deren Stetigkeit), Stetigkeit Das bedeutet im Umkehrschluss Nicht stetig $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar Nicht partiell differenzierbar $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Nicht differenzierbar
14.05.2019, 13:16	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah vielen Dank! Ich nehme an $\begin{eqnarray} f_{1}(x)=\|x_{1}\|^{x_{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{2}(x)=x_{1}+x_{2} \end{eqnarray}$ soll so definiert sein, oder? Dann ist mir das soweit klar.
14.05.2019, 13:24	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, plus der Sonderdefinition für $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ , die aber bei $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ unnötig ist.

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