Stellen bestimmen, an denen eine Funktion differenzierbar ist

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Pinahoo2006 Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage:
Die Abbildung sei definiert durch

Bestimmen sie alle Stellen, an denen f differenzierbar ist und berechnen sie die Ableitungen an diesen Stellen.

(Bei der Funktionsgleichung sollte statt den Vektorklammern vorne eine geschweifte Klammer stehen und hinten keine. Aber leider habe ich dies nicht hinbekommen...)

Meine Ideen:
Ich weiß leider nicht, wie ich die Stellen bestimme, an denen f differenzierbar ist. Die Ableitungen berechnen sollte ich dann hinbekommen. Aber das geht ja leider ohne den ersten Teil nicht.
Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.


Meine Idee wäre es 6 Fälle zu unterscheiden:
1. wobei und linear unabhängig
2. wobei und linear abhängig
3.
4.
5.
6.

Aber ich habe absolut keine Ahnung, ob das stimmt und wie genau ich anhand dieser Fallunterscheidung prüfen kann, an welchen Stellen die Funktion stetig ist.

Drei Beiträge zusammengefasst. Steffen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal: Eine Funktion besteht aus 2 Teilfunktionen , jede von ihnen . ist definitionsgemäß genau dann in einem Punkt differenzierbar, wenn beide Teilfunktionen in diesem Punkt differenzierbar sind. Nun ist die Teilfunktion offensichtlich überall differenzierbar. Man muss also nur noch die Teilfunktion untersuchen.

Da ist eine Fallunterscheidung angebracht. Die kann aber kürzer sein als bei dir. Man sollte folgendes benutzen:

(1) Stetig partiell differenzierbar differenzierbar

Damit lässt sich schon mal der größte Teil des Definitionsbereichs abhandeln.

(2) Differenzierbar Existenz aller Richungsableitungen, Existenz aller partiellen Ableitungen (aber nicht deren Stetigkeit), Stetigkeit

Das bedeutet im Umkehrschluss

Nicht stetig nicht differenzierbar
Nicht partiell differenzierbar Nicht differenzierbar
 
 
Pinahoo2006 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah vielen Dank!
Ich nehme an


soll so definiert sein, oder?
Dann ist mir das soweit klar.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, plus der Sonderdefinition für , die aber bei unnötig ist.
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