6 ist ein Teiler von (n^3 - n)

12.05.2019, 12:56

Saah

6 ist ein Teiler von (n^3 - n)

Meine Frage:
Die Aufgabenstellung lautet:

6 ist ein Teiler von n^3 - n für alle n aus den natürlichen Zahlen und n größer gleich 2. Zerlege n in ihre Linearfaktoren um dies ohne vollständige Induktion einzusehen.

Meine Ideen:
Vielleicht mit einem direkten Beweis:

es gibt mind ein k aus den natürlichen Zahlen für die gilt:

6k = n^3 - n

weiter komme ich nicht

12.05.2019, 13:02

Elvis

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$\begin{eqnarray*} n^3-n=n\cdot(n^2-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht.
$\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=3x+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=3x+2 \end{eqnarray*}$ .

12.05.2019, 15:30

riwe

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} n^3-n=n\cdot(n^2-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht.
$\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=3x+1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n=3x+2 \end{eqnarray*}$ .

oder noch eins weiter Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} n^3-n=n\cdot(n^2-1)=(n-1)\cdot n\cdot(n+1) \end{eqnarray*}$

12.05.2019, 19:09

Elvis

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Das geht auch, allerdings hat der Fragesteller dann kaum noch etwas zu tun, und das finde ich schade.

12.05.2019, 19:55

Saah

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Also hab ich das jz richtig verstanden?

2 teilt entweder n oder dann n+1 und n-1

Und 3 teilt entweder n oder n+1 oder n-1

Und da dann jedes n immer durch 2 und durch 3 teilbar ist ist es auch durch 6 teilbar?

13.05.2019, 10:09

Elvis

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Das solltest du noch einmal überdenken. n=7 ist weder durch 2 noch durch 3 teilbar. $\begin{eqnarray*} n^3 - n=7^3 - 7=343-7=336 \end{eqnarray*}$ ist durch 2 und 3, also durch 6 teilbar.

13.05.2019, 11:22

HAL 9000

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Kennt man die Aussage, dass sämtliche Binomialkoeffizientenwerte $\begin{eqnarray*} \binom{m}{k} \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sind (dabei sind $\begin{eqnarray*} m,k \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen mit $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ ), dann folgt die Behauptung hier bereits aus $\begin{eqnarray*} n^3-n = 6\binom{n+1}{3} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} m=n+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ .

Mit ähnlichen Techniken lassen sich auch andere ähnliche Problemstellungen zur Teilbarkeit von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten bewältigen.

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