Differentialgleichung - Verhalten der Lösung bei Grenzwertbildung

12.05.2019, 21:37

diff

Differentialgleichung - Verhalten der Lösung bei Grenzwertbildung

[attach]49252[/attach]
Zu b)
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-\sqrt{-1-\sqrt{1-a}}\\\lambda_2=\sqrt{-1-\sqrt{1-a}}\\\lambda_3=-\sqrt{-1+\sqrt{1-a}}\\\lambda_4=\sqrt{-1+\sqrt{1-a}} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} y(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+c_3e^{\lambda_3t}+c_4e^{\lambda_4t} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich jetzt das Verhalten für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ heraus?

13.05.2019, 13:41

Huggy

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RE: Differentialgleichung - Verhalten der Lösung bei Grenzwertbildung

Zitat:

Original von diff
$\begin{eqnarray*} y(t)=c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}+c_3e^{\lambda_3t}+c_4e^{\lambda_4t} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich jetzt das Verhalten für $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ heraus?

Für die allgemeine Lösung $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ geht das nicht, weil ja die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ von den Anfangsbedingungen abhängen und insbesondere einzelne $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ auch Null werden können.

Aber für die Basislösungen

$\begin{eqnarray*} y_i(x)=e^{\lambda_i t} \end{eqnarray*}$

kann man das machen. Das Verhalten hängt davon ab, ob der Realteil von $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ größer Null, gleich Null oder kleiner Null ist. Das lässt sich über Fallunterscheidungen für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bestimmen.

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