Leibniz-Kriterium komplexe Potenzreihen

12.05.2019, 21:53

nluap

Leibniz-Kriterium komplexe Potenzreihen

Meine Frage:
Hi,

Gegeben ist eine Potenzreihe mit der Summe von n = 1 bis unendlich von
(1/wurzel(n*2^n)) * z^n mit z1 = wurzel(2) * i; z2 = 1+i

Man soll für die beiden Werte von z auf Konvergenz untersuchen.

Meine Ideen:
Ich würde das Leibnitz-Kriterium verwenden. Ich kann zeigen, dass (1/wurzel(n*2^n)) eine monoton fallende Nullfolge ist. Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass die beiden komplexen Zahlen, die ich für z einsetze, alternieren ? Was passiert, wenn mein Imaginärteil nicht null wird ? Kann ich das Leibnitz-Kriterium trotzdem verwenden ?

12.05.2019, 22:24

Elvis

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Gottfried Wilhelm Leibniz !
Mit 2 t, nicht mit 3 t Augenzwinkern

13.05.2019, 09:23

Guppi12

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Hallo,

wenn du das Leibniz-Kriterium verwenden möchtest, bietet es sich an, den Real- und Imaginärteil der Reihe getrennt auf Konvergenz zu bestimmen, da steckt allerdings ein wenig Arbeit hinter, um diese herauszufinden.

Einfacher geht es mit dem Dirichlet-Kriterium, falls du das zur Verfügung hast.
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test

13.05.2019, 16:31

nluap

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Ok ich werds mal so versuchen, danke !

14.05.2019, 00:59

nluap

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ich komm leider nicht weiter mit dem dirichlet-test. Wie kann ich in meinem Fall denn zeigen dass der Imaginärteil meiner Reihe beschränkt ist ?

14.05.2019, 06:35

HAL 9000

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n2^n}} z^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \end{eqnarray*}$

mit einer positiven monoton fallenden Nullfolge $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} b_n:=\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Nachzuweisen ist noch, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N b_n = \sum_{n=1}^N \left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)^n \end{eqnarray*}$ beschränkt bleibt. Das ist die Partialsumme einer geometrischen Reihe, setzt doch einfach mal die entsprechende Partialsummenformel ein und versuche dann, den Betrag des Ergebnisses durch einen von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ unabhängigen Wert nach oben abzuschätzen!

14.05.2019, 06:52

Leopold

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Für $\begin{align*} z = z_1 = \sqrt{2} \cdot \operatorname{i} \end{align*}$ erhältst du die Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{i}^n}{\sqrt{n}} \end{align*}$ .

Es empfiehlt sich, diese nach geraden und ungeraden Indizes aufzuspalten. Im ersten Fall wird $\begin{align*} n \end{align*}$ durch $\begin{align*} 2n \end{align*}$ , im zweiten durch $\begin{align*} 2n-1 \end{align*}$ substituiert. Vorbehaltlich Konvergenz erhält man

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{i}^n}{\sqrt{n}} \ \ = \ \ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n}} \ + \ \operatorname{i} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{2n-1}} \end{align*}$

Und wie es weitergeht, hat Guppi12 schon gesagt: Real- und Imaginärteil getrennt betrachten.

Zum zweiten Teil beachte, daß $\begin{align*} \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 + \operatorname{i} \right) \end{align*}$ eine Wurzel von $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ ist. Löse nach $\begin{align*} 1 + \operatorname{i} \end{align*}$ auf und betrachte die Potenzen.

14.05.2019, 10:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Es empfiehlt sich, diese nach geraden und ungeraden Indizes aufzuspalten.

Wenn man den Dirichlet-Weg beschreiten will, empfiehlt sich das eher nicht.

Aber wenn denn doch der Dirichlet-Weg (der in einem Aufwasch für fast alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ klappt, einzige Ausnahme ist $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ selbst) nicht beschritten werden soll, dann habe ich den Beitrag 00:59 von nluap wohl falsch verstanden.

14.05.2019, 11:22

nluap

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vielen Dank für den ersten teil deiner antwort, hat mir sehr geholfen !
Den zweiten teil verstehe ich nicht ? Wieso eine Wurzel von i ?

14.05.2019, 13:15

Leopold

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@ HAL
Ja, du hast recht. Wir reden hier etwas durcheinander. Ich bezog mich eher auf die Überschrift "Leibniz-Kriterium ..." und den Beitrag von Guppi12. Deinen Beitrag hatte ich zu diesem Zeitpunkt noch nicht bemerkt, als ich meinen verfaßte.

@ nluap
$\begin{align*} \left( \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \left( 1 + \operatorname{i} \right) \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( 1 + \operatorname{i} \right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \left( 1^2 + 2 \operatorname{i} + \operatorname{i}^2 \right) = \operatorname{i} \end{align*}$

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