Potenzreihe Konvergenzradius

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nluap Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe Konvergenzradius
Meine Frage:
Hallo,

Gegeben ist die Potenzreihe (von n= 1 bis unendlich) : ((3i)^n + 3^n)/(n^3+1)) * (z-2 + i)^n

Es sollen alle Punkte z aus dem Bereich der komplexen Zahlen bestimmt werden, in denen die Potenzreihe konvergiert.


Meine Ideen:
Ich weiß zwar theoretisch, wie man den Konvergenzradius ausrechnet, aber wie ich das in diesem speziellen Fall machen soll, weiß ich nicht. Ich hätte die Regel von l'Hospital verwendet, aber die Ableitungen werden dann viel zu kompliziert, da muss es eine andere Möglichkeit geben.
Außerdem muss man hier schauen, ob die Funkton auch auf dem Rand des Konvergenzkreises konvergiert. Ich versteh nicht, wie und warum man das machen muss.
Wäre sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Berechnung des Konvergenzradius braucht man keine Ableitungen und schon gar nicht l'Hospital. Auf dem Rand des Konvergenzkreises passiert immer etwas, wenn es einen Rand gibt.
( https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius )
nluap Auf diesen Beitrag antworten »

aber um den Konvergenzradius zu berechnen, muss ich doch die nte wurzel vom betrag von an nehmen usw. . Und wie ich hier dann weiterkomme weiß ich nicht. oder kann ich den Konvergenzkreis auch irgendwie anders herausfinden ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nluap
oder kann ich den Konvergenzkreis auch irgendwie anders herausfinden ?

Du wirst schwerlich ein dünneres Brett finden, also bohre besser das hier. Es ist

,

überleg dir, warum die beiden gelten.
nluap Auf diesen Beitrag antworten »

ok habs nachvollzogen, vielen Dank ! Guter Spruch btw.

wie würdest du vorgehen, um den Konvergenzradius von an = ((3i)^n + (-4)^n)/((n^(-4) + 1)) zu bestimmen ? Bin irgendwie echt eingerostet, hab ewig dran gesessen aber ich schaffs nicht unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dasselbe in Grün, nur dass diesmal 4 herauskommt: wächst betragsmäßig schneller als , letzteres ist also für ein vernachlässigbarer Summand. Das ganze kann man sich auch über



klar machen. D.h., hier ist der limsup sogar ein lim, im Gegensatz zum vorherigen Beispiel.
 
 
nluap Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort !
Aber konvergiert der Term hinter 4^n wirklich gegen 1 für n gegen unendlich ? Ich komm grad nicht drauf warum
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nluap
Aber konvergiert der Term hinter 4^n wirklich gegen 1 für n gegen unendlich ?

Nein, der nicht. Aber die n-te Wurzel des Betrags dieses Terms - und darum geht es ja letztlich. Augenzwinkern


EDIT: Sehe gerade, dass da statt im Nenner steht. Das bedeutet, dass bereits der Betrag gegen 1 konvergiert, dessen -te Wurzel dann natürlich erst recht. Augenzwinkern
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