Aufgaben zu Legendre- & Jacobisymbole

13.05.2019, 20:09	sam2	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Legendre- & Jacobisymbole Hallo, ich habe hier Aufgaben zu Legendre und Jacobisymbole. Vielleicht kann mir jemand auf die Sprünge helfen, wie ich diese Aufgaben lösen kann? Legendresymbole: Falls p eine Primzahl ist mit $\begin{eqnarray} p \equiv 1 mod 12 \end{eqnarray}$ , dann ist 3 ein quadratischer Rest mod p Ist p > 3 eine Primzahl, die Teiler von $\begin{eqnarray} a^2 + 3 \end{eqnarray}$ ist (für ein $\begin{eqnarray} a \in N \end{eqnarray}$ ), dann ist $\begin{eqnarray} p \equiv 1 mod 3 \end{eqnarray}$ zu 1.) Als Beispiel p=13, da 13 mod 12 = 1. Quadratischer Rest wäre bei einem a: $\begin{eqnarray} a^2 mod 13 = 3 \end{eqnarray}$ Jacobisymbole: Zeigen Sie: Ist a ein Eulerlügner mod n, so ist auch n - a ein Eulerlügner mod n Beweisen Sie die Rechenregel für das Jacobisymbol $\begin{eqnarray} ((nn')/m)= (n/m) (n'/m) \end{eqnarray}$ zu 1.) Bedingungen wären dann: $\begin{eqnarray} ggT(n-a,n)=1, ({n-a} /n ) \equiv (n-a)^{((n-1)/2)} \end{eqnarray}$ mod n zu 2.) Das sieht mir nach den Multiplikationsregeln aus, kann es aber nicht sein.
13.05.2019, 22:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei den ersten beiden Aufgaben würde es die Dinge erheblich vereinfachen, falls du das Quadratische Reziprozitätsgesetz (inklusive Ergänzungssätze) benutzen darfst. Und: Wer oder was ist ein "Eulerlügner"?
14.05.2019, 21:50	sam2	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Legendre: $\begin{eqnarray} p \equiv 1 \mod 12 \end{eqnarray}$ , QR: $\begin{eqnarray} 3 \equiv b \mod p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ( a / p ) = a^{p-1} / 2 \equiv 1 \mod p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3 / p) = (p/3) = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p \equiv 1 \mod 3 \end{eqnarray}$ Wie würde das mit dem Reziprozitätsgesetz zu zeigen sein? Jacobi: Genauer heißt es Solovay-Strassen-Lügner.
14.05.2019, 23:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann deiner Argumentation nicht folgen: Ein Formelzeile nach der anderen ohne Erläuterung, auf wessen Grundlage du da argumentierst.

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