lokales Minimum

13.05.2019, 22:05

mathe-Kiba

Zwischenwertsatz/lokales Maximum/lokales Minimum

Guten Morgen, ich komme einfach nicht weiter... ich habe bei 4 die Definition der Differenzierbarkeit versucht aber es erschließt sich für mich nicht wie ich diese Aufgaben überhaupt auf Papier bringen soll ... 4b ist ja mit dem zwischenwertsatz zu lösen oder ?? Ich kann die Definition von ZWS nicht darauf umschreiben...

Bei 5 macht mir die Funktion Schwierigkeiten, und zwar muss ich die Funktion 2 mal 0 setzten um die Extrema also Max und min herauszufinden.
Also abgeleitet habe ich das nun zwei mal. Nun erhalte ich eine Funktion mit e^x( x^3+....+...)
Wie soll kann ich das gleich 0 setzten mit der Exponentialfunktion und dem hoch 3...??

Ich Aufgaben sollen mir helfen mich auf eine Prüfung vorzubereiten.

Vielen Dank im Vorfeld.

13.05.2019, 23:40

Finn_

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Bei A4(a) ist demnach zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f\colon (0,\infty)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=\ln(x)-\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ genau eine Nullstelle besitzt.

Zum einen will man $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als stetig erwiesen haben, dann lässt sich der Zwischenwertsatz auf jedes kompakte Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subseteq (0,\infty) \end{eqnarray*}$ anwenden. Also zu $\begin{eqnarray*} y\in [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ muss es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x\in [a,b \end{eqnarray*}$ ] mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ geben. Die Existenz mindestens einer Nullstelle ist dann sichergestellt, wenn $\begin{eqnarray*} f(a)<0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} f(b)>0 \end{eqnarray*}$ .

Findet man außerdem, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton ist, dann kann es auch nur eine einzige Nullstelle geben.

Zu A4(b): Was wir wissen, ist, dass es laut Zwischenwertsatz zu jedem Wert $\begin{eqnarray*} y\in[f(0),f(b)] \end{eqnarray*}$ ein Argument $\begin{eqnarray*} x\in[0,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ geben muss. D.h. es muss $\begin{eqnarray*} [f(0),f(b)]\subseteq f([0,b]) \end{eqnarray*}$ sein.

Nochmal nachrechnen:
$\begin{eqnarray*} [f(0),f(b)]\subseteq f([0,b]) \end{eqnarray*}$
wird expandiert zu
$\begin{eqnarray*} y\in [f(0),f(b)]\implies y\in f([0,b]). \end{eqnarray*}$
Nun bedeutet $\begin{eqnarray*} y\in f([0,b]) \end{eqnarray*}$ aber genau $\begin{eqnarray*} \exists(x\in [0,b])(y=f(x)) \end{eqnarray*}$ gemäß der Definition der Bildmenge.

Wenn nun $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ sein soll, dann muss $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ über alle Grenzen wachsen. Daher kann immer ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit einem beliebig großen $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ gefunden werden.

Unwichtiges technisches Detail zum Zwischenwertsatz: es sollte in allen Betrachtungen $\begin{eqnarray*} f(a)\le f(b) \end{eqnarray*}$ sein, andernfalls müsste man von $\begin{eqnarray*} [f(b),f(a)] \end{eqnarray*}$ anstelle von $\begin{eqnarray*} [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ ausgehen.

14.05.2019, 11:43

mathe-Kiba

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Vielen lieben dank für die Ausführliche antwort, jetzt weiss ich zuerst einmal was überhaupt gefordert ist, dennoch die anwendung mit dieser Funktion fällt mir schwerer als edacht.

. Also prüfe ich erst die stetigkeit mit der Definirion:

|f (x)-f (x0)|= |x-x0|= |( ( ln (x)- 1/x ) - (ln (x0)-1/x0))| , wobei dann 0 als lösumg erhalte... Und das macht ja keinen sinn, weil 0 nicht größer als delter sein kann....

Und den zwischenwertsatz wende ich mit Fallunterscheidung an in dem ich für f (x) = 0 oder für f (x) = ln (x)-1/x einsetzte?

14.05.2019, 14:28

Finn_

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Nach den Grenzwertsätzen bzw. Regeln für stetige Funktionen genügt es zu zeigen, dass jeweils ln(x) und 1/x stetig sind, dann ist auch die Differenz stetig. Die Funktion 1/x ist als Quotient zweier stetiger Funktion stetig, das ist geschenkt.

Es bleibt lediglich die Stetigkeit von ln(x) zu zeigen. Es kommt nun darauf an, wie ln(x) definiert wurde. Wenn man die Ableitungsregeln schon voraussetzen kann/darf und weiß dass ln(x) die Umkehrfunktion von exp(x) ist, dann bekommt man die Stetigkeit von ln(x) geschenkt, da ln(x) laut Umkehrregel differenzierbar sein muss.

Zitat:

Und den zwischenwertsatz wende ich mit Fallunterscheidung an [...]

Eine Fallunterscheidung ist nicht nötig. Es ist nur wichtig, dass der Funktionswert sein Vorzeichen wechselt. Du ziehst eine Linie, und wenn die an einer Stelle unterhalb der x-Achse liegt und an der anderen Stelle oberhalb der x-Achse, dann muss die x-Achse mindestens einmal von der Linie getroffen worden sein.

Man muss lediglich $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} f(a)<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)>0 \end{eqnarray*}$ . Das Verhalten außerhalb des Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ in Bezug auf Nullstellen ist durch die strenge Monotonie abgesichert.

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