Fixpunkt vollständiger metrischer Raum

14.05.2019, 18:06	Mizgin56	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunkt vollständiger metrischer Raum Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (X,d) \end{eqnarray}$ ein vollständiger metrischer Raum. Sei $\begin{eqnarray} f: X \to X \end{eqnarray}$ stetig mit: $\begin{eqnarray} \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} d(f^{n}(x) , f^{n}(y)) < \infty , \forall x,y \in X \end{eqnarray}$ Beh: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ besitzt genau einen Fixpunkt $\begin{eqnarray} z \in X \end{eqnarray}$ und: $\begin{eqnarray} \forall x_0 \in X : x_n \to z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty , x_n = f(x_{n-1}) = f^{n}(x_0) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: 1. Aus $\begin{eqnarray} \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} d(f^{n}(x) , f^{n}(y)) < \infty \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} (d(f^{n}(x) , f^{n}(y)))_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ ist eine Nullfolge. Daraus folgt, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ immer z ist $\begin{eqnarray} \forall x_0 \in X \end{eqnarray}$ . Somit konvergieren diese Folgen für jedes Element aus X und zwar immer gegen den selben Wert z 2. Für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x_n \to z , x_{n+1} \to z , x_{n+1} = f(x_n)<br /> \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f(x_n) \to z \end{eqnarray}$ . Da f stetig ist, gilt nach einem Satz: $\begin{eqnarray} f(x_n) \to f(z) \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ . Also gilt: f(z)=z , das Grenzwerte eindeutig sind. 3. Annahme: es gibt einen weiteren Fixpunkt $\begin{eqnarray} z' \in X \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} z' \neq z \end{eqnarray}$ . Dann müsste gelten $\begin{eqnarray} z'_n \to z \end{eqnarray}$ nach 1. Es gilt aber $\begin{eqnarray} z'_n \to z' \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \forall n \in \mathbb{N} : z'_n = f \circ ... \circ f (z') = z' \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} z' \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt ist von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Dies ist ein Widerspruch und somit gibt es keinen u´zweiten Fixpunkt. Damit müsste alles gezeigt sein.
15.05.2019, 11:43	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunkt vollständiger metrischer Raum Hallo, Du hast doch die Hauptsache nicht gezeigt, nämlich dass die Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ für beliebige $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ konvergiert. Dazu musst Du zeigen, dass diese Folge eine Cauchyfolge ist. Dazu wendest Du die Aussage über die Reihe auf $\begin{eqnarray} x=x_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=x_1 \end{eqnarray}$ an ...

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