Operation assoziativ, kommutativ, neut. Element?

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Katon Auf diesen Beitrag antworten »
Operation assoziativ, kommutativ, neut. Element?
Schönen guten Abend,

ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe: (o ist dieser Kringel für Operationen)
o: N x N -> N

m o n = m+n+m*n

Das soll ich jetzt auf Assoziativität, Kommutativität untersuchen und ob es neutrale Elemente gibt.

Assoz. heißt ja, ich kann Klammern setzen wie ich möchte. Das wäre ja hier nicht der Fall, wenn ich sage m+(n+m)*n. Reicht dann ein Gegenbeispiel? Oder bezieht sich die Assoz. auf m o n und ich müsste ein drittes Element einbringen und beweisen, dass m o x = m o (n o x).
Ich versteh auch nicht ganz, wofür das o steht, für das plus oder das mal?

Kommutativ: also n+m+n*m geht ja, aber n+n+m*m geht ja nicht, also ist das nicht kommutativ?

neutrales Element müsste ja 0 sein, setzt man n gleich 0, dann bleibt m =m. Wäre das richitg?

Soweit erstmal
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operation assoziativ, kommutativ, neut. Element?
Stur die entsprechenden Eigenschaften mit der Operation instantiieren.

Zitat:
Original von Katon
m o x = m o (n o x).

Danach ist nicht gefragt. Gefragt ist, ob für alle gilt, dass . Wenn das für alle gilt, beweise es. Wenn nicht, gib ein Gegenbeispiel an.

Zitat:
Original von Katon
Kommutativ: also n+m+n*m geht ja, aber n+n+m*m geht ja nicht

Was du sagen willst, ist leider unklar. Analog zu oben ist die Frage: gilt für alle , dass ?

Zitat:
Original von Katon
neutrales Element müsste ja 0 sein, setzt man n gleich 0, dann bleibt m =m. Wäre das richitg?

Das Ergebnis ist zwar richtig, aber deine Begründung nicht. ist eine Tautologie. Zu überprüfen ist .
 
 
Katon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(m o n) o k =m o (n o k)


wäre das dann m+n+m*n +k oder *k. Ich hab noch nicht ganz begirffen wofür der Kringel genau steht. Ich weiß auch nicht, wie ich das m und n sauber trennen kann, um entsprechend Klammern zu setzen.

Zitat:
m o n = n o m


müsste ich hier dann überprüfen, ob m+n+m*n = n+m+n*m?


Zitat:
m o 0 = m = 0 o m


hier versteh ich noch nicht ganz, wo der Unterschied ist. m o 0 bedeutet doch: m+0+m*0 = m. Reicht das nicht, um zu zeigen, das 0 mein neutrales Element ist?

Vielen Dank schonmal für die Zeit!

ps. sorry, ich weiß nicht, wie man diesen Kringel besser darstellt, beim reinkopieren macht er daraus nur kauderwelsch. Ebenso die Zitate, deshalb hab ich die manuell geschrieben.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Formeln siehe Formeleditor

Zitat:
Original von Katon
wäre das dann m+n+m*n +k oder *k. Ich hab noch nicht ganz begirffen wofür der Kringel genau steht. Ich weiß auch nicht, wie ich das m und n sauber trennen kann, um entsprechend Klammern zu setzen.

Schrittweise auflösen:




Zitat:
Original von Katon
Zitat:
m o n = n o m


müsste ich hier dann überprüfen, ob m+n+m*n = n+m+n*m?

Ja.

Zitat:
Original von Katon
Zitat:
m o 0 = m = 0 o m


hier versteh ich noch nicht ganz, wo der Unterschied ist. m o 0 bedeutet doch: m+0+m*0 = m. Reicht das nicht, um zu zeigen, das 0 mein neutrales Element ist?

Linksneutrale Elemente müssen nicht rechtsneutral sein. Wenn sich die Verknüpfung als kommutativ herausstellt, gilt das natürlich schon.
Katon Auf diesen Beitrag antworten »

bezüglich Assoziativität bin ich dann bei . Reicht das so als Beweis? Ich habe ja so gezeigt, dass die Klammern versetzbar sind, allerdings hat es noch nicht die Form m o ( n o k), da es auch n und k außerhalb der Klammer gibt.


Ich habe noch ein Problem zu einer Frage im selben Themenbereich, die allerdings einen irritierenden Unterschied aufweist. Könnte ich die hier in diesem Thread stellen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativvorschlag: Für die injektive Transformationsfunktion mit gilt

.

Damit kann man Kommutatitivität/Assoziativität von auf die entsprechenden Eigenschaften der "normalen" Multiplikation zurückführen, am Beispiel der Assoziativität:

,

aus der Injektivität von folgt damit .
Katon Auf diesen Beitrag antworten »

das hatten wir leider so (noch) nicht. Ich glaube ich sollte da jetzt kein neues Fass aufmachen. Aber dankesmile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Katon
das hatten wir leider so (noch) nicht.

Ihr hattet noch nicht die Multiplikation natürlicher Zahlen? Augenzwinkern
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Katon
bezüglich Assoziativität bin ich dann bei .

Auch diese Nachfrage lässt ihrerseits wieder Fragen offen. Wenn du verstanden werden willst, musst du deine Ergebnisse vollständig und mit Kontext vorstellen.
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