Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich

14.05.2019, 21:14

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich

Meine Frage:
meine Bijektion:

1-> leere Menge
2-> {1}
3-> {2}
4-> {1,2}
5-> {3}
6-> {1,2,3}
7-> {1,3}
8-> {4}
9-> {1,2,3,4}
10-> ...
...

Meine Ideen:
Diese Abbildung ist eine Bijektion, warum sollte diese falsch sein? Das Muster ist sehr eindeutig und jeder könnte das bis ins unendliche fortsetzen.

Ich habe in diesem Forum einen Widerspruchbeweis gefunden, der annimmt, es gäbe eine surjektive Abbildung von N nach P(N) und das zum Widerspruch führt. Dieser ist aber für meine Bijektion nicht ausreichend, da ab einer Stelle im Beweis angenommen wird, es gäbe ein Element in N für meine Bijektion, das auf die natürlichen Zahlen als Teilmenge abbildet. Dieses Element kann ich aber niemals auswählen, wie es in dem Beweis angenommen wird. Ohne ein Auswahlaxiom gilt dieser nicht als Gegenbeweis.

14.05.2019, 21:21

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Zahl schickst du denn auf die Menge $\begin{eqnarray*} \{2,4,6,8,\ldots\} \end{eqnarray*}$ ? Oder auf $\begin{eqnarray*} \{3,6,9,12,\ldots\} \end{eqnarray*}$ ? Und was ist mit der Menge der Primzahlen, wovon wird die getroffen?

14.05.2019, 21:28

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, ich weiss nur, ich treffe alle. Das könnte ich per Induktion zeigen. Wieso ist das wichtig?

14.05.2019, 21:37

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, wie deine Bijektion definiert ist. Ich sehe kein Muster, bitte um weitere Erklärung. Dein Induktionsbeweis ist sehr wichtig, bitte veröffentlichen.

14.05.2019, 21:54

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr einfach, immer wenn bei Hinzufügen einer neuen natürlich en Zahl auf der rechten Seite alle neuen endlich vielen Teilmengen erstellt wurden und diese den nächsten endlich vielen natürlichen Zahlen zugewiesen wurden, füge ich die nächste natürliche Zahl auf der rechten Seite hinzu und erstelle alle nächsten endlich vielen Teilmengen und weise diese den nächsten endlich vielen natürlichen Zahlen hinzu. Das Erstellen kann ich sehr einfach in einem Computer rekursive definieren, ist das nicht sogar die 1 Binomische Formel endlich oft mehrfach angwendet? (selbstverständlich ohne eine zwei vor den Ziffern, rein symbolisch gedacht). Das lasse ich dann gemütlich rechnen.

14.05.2019, 22:01

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Wenn ich mich nicht irre, bekommst du mit diesem Verfahren alle endlichen Teilmengen. Die Potenzmenge muss aber auch alle unendlichen Teilmengen enthalten.

Anzeige

14.05.2019, 22:23

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig, für eine endliche Zeit, da es generisch alle Fälle durchgeht. Er trifft aber alle in unendlicher Zeit. Die Definition von Gleichmächtigkeit ist aber eine Bijektion anzugeben. Mein Code ist diese Bijektion, nicht das Rechnen, oder wenn du so willst meine obige Beschreibung. Ich habe nur Schwierigkeiten bestimmte Mengen, wie von Iorek angegeben, einer natürlichen Zahl adhoc zuzuweisen. Das verlangt die Definition von ’finde eine Bijektion' aber nicht direkt. In dem Widerspruchbeweis hier in diesem Forum muss man ein Element angeben, dass die Teilmengen von Iorek trifft, um es zum Widerspruch zu führen. Dazu benötigt meine Bijektion aber ein Auswahlaxiom, demnach funktioniert der Gegenbeweis nicht ohne dieses Axiom. Trotzdem sehe ich mich im Stande, sehr verständlich widerzugeben, wie meine Bijektion aussieht, sodass ich weiss, ich treffe alle Teilmengen.

14.05.2019, 22:33

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich
Für jede Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |A| < |\mathcal P(A)| \end{eqnarray*}$ . Dazu braucht man aber kein Auswahlaxiom.

14.05.2019, 22:36

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz klar für endliche Mengen, hier haben wir aber eine abzählbare unendliche Menge. Dann definiert man Gleichmächtigkeit mit: gib eine Bijektion an.

14.05.2019, 22:42

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Man braucht in keinem Fall das Auswahlaxiom. Der Beweis benutzt im wesentlichen ein (rein logisches) Diagonalisierungsargument und das Separationsschema.

14.05.2019, 22:45

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch eine Bijektion oben angegeben, bitte gehe doch darauf ein und sage mir, wieso diese scheitert? Ich möchte nicht über einen anderen Beweis sprechen, sondern über dieses Beispiel oben.

14.05.2019, 22:46

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Für jede Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |A| < |\mathcal P(A)| \end{eqnarray*}$ . Dazu braucht man aber kein Auswahlaxiom.

Hier gehe ich aus von: $\begin{eqnarray*} |A| < |B| :\iff \text{Es existiert eine Injektion $A \to B$, aber keine Surjektion $A \to B$} \end{eqnarray*}$ .

14.05.2019, 22:50

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich gehe davon aus, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, wenn man eine Bijektion zwischen beiden angeben kann. Diese vermeintliche Bijektion habe ich oben definiert und ist sehr verständlich widergegeben in meinem zweiten Post. Bitte gehe darauf ein.

14.05.2019, 22:50

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
Ich habe doch eine Bijektion oben angegeben, bitte gehe doch darauf ein und sage mir, wieso diese scheitert? Ich möchte nicht über einen anderen Beweis sprechen, sondern über dieses Beispiel oben.

Darauf gehe ich nicht ein, denn das haben bereits andere Mitglieder getan.

Ich bin auf deine Aussage eingegangen, man benötige das Auswahlaxiom um den Satz von Cantor zu zeigen. Das stimmt nicht.

14.05.2019, 22:52

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

@Okuytb
Du triffst immer nur eine endliche Menge und deren endliche Teilmengen, das ist keine Bijektion. Wenn du anderer Meinung bist, musst du sagen, welcher Zahl du eine unendliche Teilmenge zuordnest.

14.05.2019, 22:56

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage doch nur, dass ich einen Widerspruchbeweis hier in diesem Forum gefunden habe, der darauf hinausläuft, dass man ein Element aus den natürlichen Zahlen angeben muss, um es zum Widerspruch zu führen. In meiner Bijektion kommt das der Frage gleich: welches Element wird auf die Menge der natürlichen Zahlen selbst abgebildet. Dafür würde ich für diese obige Abbildung das Auswahlaxiom benötigen, was der Widerspruchsbeweis nicht erwähnt, also daher nicht anwendbar macht.

Schön das Du nicht darauf eingehst, dann vielleicht andere?

14.05.2019, 22:59

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso muss ich ein Element angeben, wer sagt das? Ich weiss diese Abbildung oben trifft alle, nur kann ich eben nicht alle adhoc zuweisen, imao ist das aber doch nicht ausdrücklich erforderlich.

14.05.2019, 23:06

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dann gehen wir doch mal wirklich die zugeordneten Mengen der "Bijektion" durch.

{1}
{2}
{1,2}
{3}
{1,2,3}
.
.
.
irgendwann kommt dann
{10^100}
{1,2,3,....,10^100}
.
.
.
Ok, das können wir natürlich fortsetzen.
Trotzdem bleibt die Frage, wann zum Beispiel die Menge aller Primzahlen kommen.
Dein System beansprucht eine Grenze, ab der du dieses Muster verlassen kannst, um eigene "Wege" zu gehen, eben z.B. die Primzahlen.
Aber diese Grenze gibt es nicht.

14.05.2019, 23:07

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
Ich sage doch nur, dass ich einen Widerspruchbeweis hier in diesem Forum gefunden habe, der darauf hinausläuft, dass man ein Element aus den natürlichen Zahlen angeben muss, um es zum Widerspruch zu führen.

Eingangs hast du geschrieben:

Zitat:

Original von Okuytb
Ich habe in diesem Forum einen Widerspruchbeweis gefunden, der annimmt, es gäbe eine surjektive Abbildung von N nach P(N) und das zum Widerspruch führt. Dieser ist aber für meine Bijektion nicht ausreichend, da ab einer Stelle im Beweis angenommen wird, es gäbe ein Element in N für meine Bijektion, das auf die natürlichen Zahlen als Teilmenge abbildet. Dieses Element kann ich aber niemals auswählen, wie es in dem Beweis angenommen wird. Ohne ein Auswahlaxiom gilt dieser nicht als Gegenbeweis.

Den farbig markierten Teil in deiner Antwort habe ich aufgefasst als die Aussage: "Der Beweis des Satzes von Cantor nach dem Diagonalisierungsprinzip benötigt das Auswahlaxiom." Diese Aussage trifft jedoch nicht zu und das wollte ich klarstellen.

Vielleicht habe ich deine Aussage aber auch anders verstanden, als du sie gemeint hast.

14.05.2019, 23:18

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Mengen, von denen gesprochen wird, kommen im Unendlichen alle gleichzeitig vor, wenn ich meine Abbildung heranziehe. Welche Bijektion kann im Unendlichen überhaupt Aussagen treffen? Ich bin der Meinung, dass dann keine Bijektion, die mit unendlichen Mengen arbeitet, alle Elemente exakt zuweisen kann, eben diese im unendlichen. Trotzdem ist jedem 4 Klässler verständlich, dass ich mit der obigen Vorgehensweise alle Teilmengen treffe und nichts auslasse. Wie gesagt funktioniert der Widerspruchbeweis hier in diesem Forum nicht, denn dazu benötigt man ein Element, dass ich eben nicht ausdrücklich angeben kann, nur per Auswahlaxiom. Der Post ist unter ’ Ist die Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar?’ 10.2.2011, ganz am Ende zu finden.

@zweiundvierzig

Ich glaube du hast mich missverstanden.

14.05.2019, 23:21

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du dich vielleicht eher an namhafte Journale und/oder Universitäten wenden wenn du herausgefunden hast, dass die Mathematik seit vielen Jahren falsch liegt.
Sturheit ist eine Sache, aber die Wortwahl lässt mich zweifeln, dass du das alles ernst meinst, sondern einen Platz zum Stänkern suchst.

14.05.2019, 23:30

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine das sehr ernst... bitte komm mir jetzt nicht mit irgendwelchen Totschlagargumenten, sonst bin ich hier schneller weg wie du bis 3 zählen kannst.

Warum ist das keine Bijektion? Bitte sachlich, gerne auch einen Widerspruchbeweis angeben den ich ernsthaft Versuche nachzuvollziehen. Mich begnügt es nicht zu sagen, ich muss bei einer Bijektion allen Zuweisungen adhoc angeben können, dass fordert eine Bijektion imao nicht.

Danke

14.05.2019, 23:35

MaPalui

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht unser Problem wenn du schneller als bist als wir zählen können.
Die Frage die du gerade stellst ist doch nun wirklich hinreichend beantwortet und deine Einwände widerlegt worden.
Es scheint als würde dir nur die Antwort nicht passen weil du sie nicht verstehst. Das macht sie aber nicht falsch.

Zitat:

Original von Okuytb
Warum ist das keine Bijektion? Bitte sachlich, gerne auch einen Widerspruchbeweis angeben den ich ernsthaft Versuche nachzuvollziehen. Mich begnügt es nicht zu sagen, ich muss bei einer Bijektion allen Zuweisungen adhoc angeben können, dass fordert eine Bijektion imao nicht.

Danke

Ok.
Was fällt dir bei deiner "Bijektion" auf wenn du dir die nicht-einelementigen Mengen auf der rechten Seite anschaust?

14.05.2019, 23:38

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe durch deinen vorherigen Post und auch den jetzigen sehr klar festgestellt, auf welcher Schiene du unterwegs bist, daher gehe ich nicht weiter auf deine Posts ein.

14.05.2019, 23:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
daher gehe ich nicht weiter auf deine Posts ein.

Du gehst generell nicht wirklich auf die Posts der anderen ein. Insofern kann deine "Drohung"

Zitat:

Original von Okuytb
sonst bin ich hier schneller weg wie du bis 3 zählen kannst.

nun wirklich keinen schrecken. Die Spinner kommen und gehen, bei dir wird es auch nicht anders sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2019, 00:00

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
@zweiundvierzig

Ich glaube du hast mich missverstanden.

Eben nicht.

Zitat:

Original von Okuytb
Wie gesagt funktioniert der Widerspruchbeweis hier in diesem Forum nicht, denn dazu benötigt man ein Element, dass ich eben nicht ausdrücklich angeben kann, nur per Auswahlaxiom. Der Post ist unter ’ Ist die Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar?’ 10.2.2011, ganz am Ende zu finden.

Siehe hier. Dafür wird gerade kein Auswahlaxiom benötigt.

15.05.2019, 00:00

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer bist denn du eigentlich, der Krösus? Gibst mir hier überhaupt keine Antwort auf meinen Eingangspost und fängst gleich an zu stänkern?! hat dieses Forum niemanden der für Ordnung sorgt?

Auch dich werde ich vergnüglich ignorieren.

15.05.2019, 00:05

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

@zweiundvierzig

Danke dafür, aber dieses y, dass es in dem Beweis geben muss, ist gerade dieses, welches ich nicht finden kann oder auswählen kann imao. A ist gerade ganz N, also die Menge der natürlichen Zahlen. Oder nicht?

15.05.2019, 00:09

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

@zweiundvierzig

Spiele diesen Widerspruchbeweis Mal für meine Abbildung im Eingangspost durch.

15.05.2019, 00:19

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
@zweiundvierzig

Danke dafür, aber dieses y, dass es in dem Beweis geben muss, ist gerade dieses, welches ich nicht finden kann oder auswählen kann imao. A ist gerade ganz N, also die Menge der natürlichen Zahlen. Oder nicht?

Das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in dem Beweis existiert aufgrund der angenommenen Surjektivität der Abbildung. Dafür braucht man aber kein Auswahlaxiom. Die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wird durch ein Separationsaxiomenschema definiert, auch hier braucht man kein Auswahlaxiom. Die restliche Struktur (Widerspruchsbeweis, Diagonalisierung) des Beweises beruft sich auf bloße Prädikatenlogik.

In deinem Fall wurden dir jetzt mehrfach potentielle Elemente der Bildmenge vorgeschlagen, zu denen du ein Urbild angeben solltest. Das ist bisher noch nicht geschehen.

15.05.2019, 00:34

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

@zweiundvierzig

Danke dafür. Die Surjektivität wird angenommen, ok, dass heißt doch aber nicht, dass ich eine Zuweisung A=f(y) explizit machen kann, im dem Sinne, als würde ich y kennen. Dafür bräuchte ich doch das Argument, dass ich jeder Teilmenge ein Element explizit zuweisen kann, sonst kann ich keine vergleiche ziehen, und das kann die Abbildung im Eingangspost eben nicht. A ist für die Abbildung im Eingangspost ganz N und dafür finde ich explizit kein y, mit A=f(y). Daher funktioniert dieser Widerspruch ab A=f(y) doch nicht mehr?!

Ich verstehe auf was du hinauswillst: muss ich denn y hier wirklich explizit kennen oder reicht die Surjektivität? Aber! ist das nicht dasselbe wie von mir zu fordern, gib mir die Zuweisung von {1,2,3,5,7,11,...} explizit an??

15.05.2019, 01:27

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
@zweiundvierzig

Danke dafür. Die Surjektivität wird angenommen, ok, dass heißt doch aber nicht, dass ich eine Zuweisung A=f(y) explizit machen kann, im dem Sinne, als würde ich y kennen.

Sei $\begin{eqnarray*} f \colon A \to B \end{eqnarray*}$ eine surjektive Abbildung zwischen zwei Mengen. Dann gilt (per Definition): $\begin{eqnarray*} \forall y(y \in B \to \exists x(x \in A \wedge f(x) =y )) \quad (*) \end{eqnarray*}$

Unter Annahme des Auswahlaxions gilt: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv, dann hat $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Rechtsinverses, d.h. es existiert eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \colon B \to A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f \circ g = \mathrm{id}_B \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (**) \end{eqnarray*}$ . (Dies ist sogar Äquivalent zum Auswahlaxiom.)

Im Beweis wird $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ benutzt und nicht $\begin{eqnarray*} (**) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Okuytb
Aber! ist das nicht dasselbe wie von mir zu fordern, gib mir die Zuweisung von {1,2,3,5,7,11,...} explizit an??

Von dir fordert niemand etwas. Du hingegen forderst Zustimmungen für falsche Behauptungen.

Dir wurden wiederholt stichhaltige Einwände gegen die Surjektivität deiner Funktion gebracht, die du dich schlicht weigerst zu akzeptieren. Umgekehrt behauptest du:

Zitat:

Original von Okuytb
Ich weiss diese Abbildung oben trifft alle

Dafür lieferst du keinen Beweis (obwohl du es angeblich "weißt"). Das wird dir auch nicht gelingen, weil die Aussage falsch ist. Aber in so einem Fall wärst du am Zug, einen Ansatz zu liefern, damit man sehen könnte, wo es hakt.

Mit mathematischer Argumentation hat das alles leider sehr wenig zu tun.

15.05.2019, 14:55

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Das nenne ich Hilfe, sehr vielen Dank zweiundvierzig.

So komme ich dahin, meine Gedanken zu ordnen, nicht durch irgendwelche dummen Kommentare.

Ich dachte bisher, dass man in dem Beweis eine Rechtsinverse benötigt. Welches Element wird denn den natürlichen Zahlen als Teilmenge in meinem Beispiel zugeordnet. Eben unendlich, aber ist diese denn Teil der natürlichen Zahlen?

Wie wird dass für den Beweis der Gleichmächtigkeit zu den ganzen Zahlen gelöst. Also welche Elemente werden -unendlich und +unendlich zugewiesen und denen wenn ich Zahlen abziehe von +-unendlich etc., ich meine das ist der selbe Standpunkt, wie zu fragen, gib mir die Zuordnung zu {1,2,3,5,7,11,..}, denn auch hier wird mit ... suggeriert, ich wüsste schon wie das letzte Element aussieht.

Bitte gib mir doch eine Bijektion der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen an, so dass ich den Unterschied erkenne.

15.05.2019, 15:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
Welches Element wird denn den natürlichen Zahlen als Teilmenge in meinem Beispiel zugeordnet. Eben unendlich, aber ist diese denn Teil der natürlichen Zahlen?

Ist sie nicht, weswegen das Unsinn ist.

Zitat:

Original von Okuytb
Wie wird dass für den Beweis der Gleichmächtigkeit zu den ganzen Zahlen gelöst. Also welche Elemente werden -unendlich und +unendlich zugewiesen

Weder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehören zu den ganzen Zahlen, sind demnach kein Bestandteil der Abbildung.

Zitat:

Original von Okuytb
Bitte gib mir doch eine Bijektion der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen an

Ein mögliches Beispiel ist $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{N}\to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(n) = \frac{1+(-1)^n(2n-1)}{4} \end{eqnarray*}$ , das ergibt für den Anfang

f(1) = 0
f(2) = 1
f(3) = -1
f(4) = 2
f(5) = -2
...

Falls du gern die 0 bei den natürlichen Zahlen dabei haben willst, muss man das leicht modifizieren: $\begin{eqnarray*} g:\;\mathbb{N}_0\to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(n) = \frac{1-(-1)^n(2n+1)}{4} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Okuytb
So komme ich dahin, meine Gedanken zu ordnen, nicht durch irgendwelche dummen Kommentare.

Was du als "dumme Kommentare" bezeichnest sind die natürliche Reaktion auf deine Ignoranz der allermeisten mathematischen Argumente in den Beiträgen diverser Helfer hier. Und was wirklich dumme Kommentare betrifft, kann ja wohl keiner dich schlagen:

Zitat:

Original von Okuytb
Trotzdem ist jedem 4 Klässler verständlich, dass ich mit der obigen Vorgehensweise alle Teilmengen treffe und nichts auslasse.

ROFL

Nicht jedem Viertklässler: Es gibt darunter bestimmt den einen oder anderen schlauen Kopf, der schon davon gehört hat, dass es auch unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen gibt. Und den kannst du mit deiner angeblichen Bijektion nicht hinters Licht führen.

15.05.2019, 15:29

zweiundvierzig

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
Welches Element wird denn den natürlichen Zahlen als Teilmenge in meinem Beispiel zugeordnet. Eben unendlich, aber ist diese denn Teil der natürlichen Zahlen?

Du hast eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb N \to \mathcal{P}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ in Form eines (informellen) Algorithmus angegeben. Man könnte (induktiv über die Konstruktion) zeigen, dass eine Invariante deines Algorithmus ist, dass die Bildmengen stets endliche Elemente sind.

Zitat:

Original von Okuytb
Wie wird dass für den Beweis der Gleichmächtigkeit zu den ganzen Zahlen gelöst. Also welche Elemente werden -unendlich und +unendlich zugewiesen

$\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ (was immer diese Symbole bedeuten sollen) sind keine natürlichen Zahlen. Natürlich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \sqcup \{\pm \infty\} \end{eqnarray*}$ immer noch abzählbar.

Zitat:

Original von Okuytb
Bitte gib mir doch eine Bijektion der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen an, so dass ich den Unterschied erkenne.

Das ist ein Standardresultat. Wer suchet, der findet.

15.05.2019, 18:01

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz ohne vollständige Induktion sieht man sofort, dass die Abbildung so konstruiert ist, dass sie nicht surjektiv sein kann. Beweis: Für jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N\backslash \{1\} \end{eqnarray*}$ enthält $\begin{eqnarray*} f(n)\in \mathbb P((\mathbb N) \end{eqnarray*}$ ein maximales Element $\begin{eqnarray*} m \le n \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} |f(n)|<\infty \end{eqnarray*}$ , d.h. die Funktion trifft niemals eine unendliche Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ . qed. Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ keine Bijektion, und der Versuch ist gescheitert. Wir wissen ja auch aus dem Satz von Cantor, dass das Projekt von vornherein zum Scheitern verurteilt ist.

15.05.2019, 21:08

Finn_

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu der vorgelegten Abbildung gibt es eine änhliche, die streng und kanonisch definiert ist.

Jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ist durch genau eine Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} \chi\colon\mathbb N_0\to\{0,1\} \end{eqnarray*}$ charakterisiert, die zu jeder Zahl sagt, ob diese Zahl in der Teilmenge enthalten ist oder nicht.

Nun ist jede Indiktorfunktion aber nichts anderes als eine Folge von Bits.

Man betrachte nun nur solche Folgen $\begin{eqnarray*} \chi(n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \exists n_0\forall(n\ge n_0)(\chi(n)=0) \end{eqnarray*}$ . Diese Folgen entsprechen der Binärdarstellung natürlicher Zahlen im Little-Endian-Format. Man bekommt die folgende Tabelle:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:

 0 | 0    | {}
 1 | 1    | {0}
 2 | 01   | {1}
 3 | 11   | {0,1}
 4 | 001  | {2}
 5 | 101  | {0,2}
 6 | 011  | {1,2}
 7 | 111  | {0,1,2}
 8 | 0001 | {3}
 9 | 1001 | {0,3}
10 | 0101 | {1,3}
11 | 1101 | {0,1,3}
...

Hierdurch ist eine kanonische Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ und der Menge der endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

16.05.2019, 16:07

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich jetzt von allen Teilnehmern dieser Diskussion höre, dreht und fällt alles mit den unendlichen Teilmengen.

Ich kann für meine Abbildung nicht sagen, welches Element der natürlichen Zahlen zum Beispiel

{1,2,3,5,7,11,..}

zugewiesen wird. Dabei weiss ich nicht, wie die letzte Ziffer von ... aussieht. Ich bin trotzdem der Ansicht, streng genommen, muss man mir sagen können, wie das Ende von ... aussieht, sonst nehme ich die Abbildung von HAL 9000 (die analytische Version könnt ihr oben einsehen) und stelle dieselbe Frage, nämlich welches Element wird denn

-...
oder
+...

zugewiesen?

Selbst wenn mir HAL 9000 sagt, unendlich, dann frage ich gibt es zwei davon? Dann kann er womöglich 1 und 2 auf +- unendlich abbilden und erst dann mit seiner Abbildung beginnen, was hindert mich aber daran dasselbe zu tun?

Irgendwie scheint mir, ist die Surjektivität ein zu wenig starkes Argument für den Gegen-Beweis. Denn wenn in dem Gegen-Beweis nicht explizit danach gefragt wird, ob eine Rechtsinverse existiert, wieso sollte dann für mich und meine Abbildung dieselbe Frage auf einmal für die unendlichen Teilmengen gelten, die ich eurer Meinung nach ja beantworten soll/muss. Surjektivität tut so, als könne ich das Element stets festhalten, das ist aber für meine spezielle Abbildung nie der Fall.

Streng genommen müsste ich die Bijektion im Gegenbeweis annehmen und das zum Widerspruch führen. Denn die Annahme der Bijektion ist dann äquivalent zu einer Umkehrfunktion, die gleichzeitig eine Rechtsinverse ist. Dann hätte ich stets das Auswahlaxiom dabei und würde dann zum Widerspruch kommen, ganz natürlich.

Warum nimmt man nur die Surjektivität an, dass ist meiner Meinung nach zu wenig!

Ich gebe Cantor recht, wenn er eine Abschluss dieser Diskussion suchen wollte. Ob er wirklich das Ende ist, weiss ich nicht so genau.

Ich lasse euch jetzt in Ruhe, ich sehe ja, dass ich hier auf Granit beiße, weil ich es anscheinend nicht verstehe.

16.05.2019, 16:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Okuytb
Dann kann er womöglich 1 und 2 auf +- unendlich abbilden und erst dann mit seiner Abbildung beginnen, was hindert mich aber daran dasselbe zu tun?

Ok, du willst also die unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ irgendwo bei dir "dazwischenschieben", und schon ist die Abbildung gerettet? verwirrt

verwirrt

Klingt nach einem Plan - wenn er denn durchführbar wäre! Gäbe es nur endlich viele, oder zumindest nur abzählbar unendlich viele solche unendlichen Teilmengen, dann würde dein Plan funktionieren: Im ersteren Fall könnte man die vorn einschieben, im zweiten Fall mit den vorhandenen endlichen Teilmengen z.B. im Reißverschlussprinzip verzahnen - ähnlich wie ich es oben bei der bijektiven Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\to\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit den positiven und negativen Zahlen im Bildbereich getan habe.

Dummerweise sind es aber mehr, d.h., es gibt überabzählbar viele solche unendlichen Teilmengen, was aus dem Satz von Cantor folgt. Aber wenn du diese Argumentation nicht akzeptierst, bleibt es dir ja unbenommen, dennoch einen Rettungsversuch für deine Abbildung zu versuchen. Wir warten voller Vorfreude darauf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.05.2019, 16:32

Okuytb

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich könnte den gleichen Trick wie du anwenden und immer jede zweite natürliche Zahl den unendlichen Teilmengen zuweisen, die ihr mir sagt! Die andere Hälfte benutze ich wie gehabt Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Denk mal darüber nach. Das sie überabzählbar sind, sagst du, ich sage, so wie oben gerade erwähnt, ist sie immer abzählbar. Nenne mir einfach eine unendliche Teilmenge und ich weiße Sie der nächsten geraden natürlichen Zahl zu.

Jetzt aber wirklich Ende Gelände!

123 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »