Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich - Seite 2

16.05.2019, 16:38

Okuytb

Um noch eines zu ergänzen. Wenn man die Bijektion im Gegen-Beweis annimmt, heißt der Widerspruch eigentlich, dass eine Bijektion ohne das Auswahlaxiom nur für endliche Teilmengen bestimmt ist. Für unendliche Teilmengen benötigt man immer das Auswahlaxiom.

Peace and Out!

16.05.2019, 16:40

Okuytb

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Ersetze 'Teilmengen' mit 'Mengen' im vorherigen Post.

16.05.2019, 18:59

HAL 9000

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Ist schon interessant, deine selektive Wahrnehmung: Du liest die ersten beiden Abschnitte meines Beitrags, nimmst den vermeintlichen Vorschlag im zweiten Absatz auch noch auf - und ignorierst dann komplett den dritten Abschnitt. ROFL

Dein "Vorschlag" ist komplett wertlos, solange du nicht konkret untersetzt, wie du alle (!) unendlichen Teilmengen auf diese Weise einschieben willst.

16.05.2019, 20:08

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Okuytb
Streng genommen müsste ich die Bijektion im Gegenbeweis annehmen und das zum Widerspruch führen. Denn die Annahme der Bijektion ist dann äquivalent zu einer Umkehrfunktion, die gleichzeitig eine Rechtsinverse ist. Dann hätte ich stets das Auswahlaxiom dabei und würde dann zum Widerspruch kommen, ganz natürlich.

Ich bin mir nicht sicher, was du hier sagen willst.

Fest steht aber, dass die Äquivalenz $\begin{eqnarray*} \text{$f$ bijektiv}\iff \text{$f$ hat eine Umkehrfunktion (beidseitiges Inverses)} \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig vom Auswahlaxiom gilt.

16.05.2019, 21:24

Okuytb

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@zweiundvierzig

Wie ist deine Aussage zu verstehen? Für Abbildungen endlicher Mengen sollte es unabhängig vom Auswahlaxioms gelten. Für unendliche Mengen benötige ich es unter welcher Bedingung bzw. bitte gib mir ein Beispiel, wann eine bijektive Abbildung nicht ohne das Auswahlaxiom eine Umkehrfunktion hat. Das verstehe ich nicht. Danke.

16.05.2019, 22:09

zweiundvierzig

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Sei $\begin{eqnarray*} f \colon A \to B \end{eqnarray*}$ bijektiv. Dann gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a) = b \end{eqnarray*}$ . Dies definiert eine funktionale Relation $\begin{eqnarray*} R \subseteq B \times A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} R(b,a) \iff f(a) = b \end{eqnarray*}$ . Nach dem Ersetzungsaxiomenschema ist $\begin{eqnarray*} g := \{(b,a) \in B \times A \;|\;R(b,a)\} \end{eqnarray*}$ eine Funktion.

16.05.2019, 22:20

zweiundvierzig

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Der Punkt ist, dass die Fasern $\begin{eqnarray*} f^{-1}(b) \end{eqnarray*}$ einer bijektiven Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einelementig sind. Dadurch lässt sich wie beschrieben eine funktionale (linkstotale und rechtseindeutige) Relation definieren, die wegen des Ersetzungsaxioms eine Funktion induziert.

Das Auswahlaxiom kommt wegen der Injektivität nicht zum Tragen.

16.05.2019, 22:36

Okuytb

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Verstehe ich dich falsch? Gilt diese Aussage allgemein?

Du sagtest nämlich in deinem vorletzten Post, dass man das Auswahlaxiom extra fordern muss, damit eine inverse Abbildung im Allgemeinen existiert.

Für mich klingt dein jetziger Post nach, g ist eine Abbildung, aber was ist der Grund, das g nicht automatisch eine inverse Abbildung von f ist? Für mich ist g(f(b)=a und g damit eine Umkehrfunktion.
Gut, dann würde ich dir abnehmen, dass ich das Auswahlaxiom nicht benötige, was du aber vorher nicht unabhängig vom Auswahlaxiom betitelt hast.

Komischer Weise Frage ich mich gerade, ob die Annahme 'Rechtsinverse' nicht notwendigerweise das Auswahlaxiom beherbert, denn es folgt mit der Surjektivität nur daraus. Dann würde nämlich eine existierende Inverse immer das Auswahlaxiom beherben.

Deine zweiten Post muss ich erst verstehen.

16.05.2019, 22:41

Okuytb

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*g(f(b)=b

16.05.2019, 23:11

zweiundvierzig

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Damit alle surjektiven Abbildungen ein Rechtsinverses besitzen, benötigt man das Auswahlaxiom.

Damit alle bijektiven Abbildungen ein (beidseitiges) Inverses besitzen, benötigt man kein Auswahlaxiom.

16.05.2019, 23:27

Okuytb

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Zitat:

Damit alle bijektiven Abbildungen ein (beidseitiges) Inverses besitzen, benötigt man kein Auswahlaxiom.

Aber gilt nicht:

f ist surjektiv + Auswahlaxiom <=> f hat Rechtsinverse

Das heisst für mich:

f ist bijektiv => f ist injektiv + f hat inverse => f ist injektiv + f hat Rechtsinverse + Linksinverse => f ist injektiv + surjektiv + Auswahlaxiom <=> f ist bijektiv + Auswahlaxiom

Das heisst, aus f ist bijektiv folgt f ist bijektiv und das Auswahlaxiom, also folgt, dass das Auswahlaxiom bei bijektivität immer angenommen wird.

16.05.2019, 23:53

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Okuytb
Das heisst, aus f ist bijektiv folgt f ist bijektiv und das Auswahlaxiom, also folgt, dass das Auswahlaxiom bei bijektivität immer angenommen wird.

Sicher nicht.

16.05.2019, 23:56

Okuytb

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Bitte Erklärung!

Du sagtest:

f bijektiv => f hat (Rechts- und Linksinverse) Inverse

Weiterhin gilt:

f ist surjektiv + Auswahlaxiom <=> f hat Rechtsinverse

Der Schluss:

f ist bijektiv => f ist injektiv + f hat inverse => f ist injektiv + f hat Rechtsinverse + Linksinverse => f ist injektiv + surjektiv + Auswahlaxiom <=> f ist bijektiv + Auswahlaxiom

ist gut nachvollziehbar, wo ist der Fehler?

17.05.2019, 00:06

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Okuytb
f ist surjektiv + Auswahlaxiom <=> f hat Rechtsinverse

Das stimmt nicht.

Es git: $\begin{eqnarray*} \text{Auswahlaxiom} \iff (\text{Für alle Funktionen $f$:} ~(\text{$f$ ist surjektiv} \implies \text{$f$ hat ein Rechtsinverses})) \end{eqnarray*}$

17.05.2019, 00:20

Okuytb

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Danke!

17.05.2019, 08:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dein "Vorschlag" ist komplett wertlos, solange du nicht konkret untersetzt, wie du alle (!) unendlichen Teilmengen auf diese Weise einschieben willst.

Das hier harrt immer noch einer Antwort. Ist irgendwie nervig, dass du immer dann, wenn es konkret werden muss, dich in andere Richtungen aus dem Staub machst und so den unangenehmen Dingen wegläufst.

17.05.2019, 09:23

Okuytb

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@HAL 9000

Ich weiss nicht was du willst, habe ich meine Einstellung zu Dir und diesem Topic nicht von Anfang an klargestellt. Du musst jetzt nicht rumheulen, dass ich nicht mehr mir Dir schreibe. Überlege mal wie du in die Diskussion eingestiegen bist... im Gegensatz zu Dir hat zweiundvierzig stets ruhig und sachlich argumentiert und das ist ein klares Plus. Ich lass mir nämlich nicht gerne was von Leuten Erklären die mich als Spinner titulieren.

17.05.2019, 10:10

HAL 9000

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Deine immer wieder ausreichende Reaktion beweist, dass du der Spinner bist, als den ich dich tituliert haben: Immer wenn es ernst wird, verkrümelst du dich.

Im Gegensatz zu dir bin ich nicht ausgewichen: Du hast nach einer bijektiven Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gefragt - ich habe geliefert.

17.05.2019, 10:21

zweiundvierzig

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Es geht eher darum, dass dieser Threadtitel aus einer inkorrekten mathematischen Aussage besteht, deren vermeintliche Richtigkeit du wiederholt verteidigt hast. Nachdem sich mehrere Helfer eingebracht haben, hast du ein Resümee bzw. eine Neubewertung deiner Ausgangsthese aufgrund der dir gelieferten Gegenargumente offen gelassen, nach dem Muster, erstmal kühne Behauptungen aufstellen, und sich dann bei Gegenargumenten darauf zurückziehen, man verstehe selbst ja offenbar "überhaupt nichts". Das ist insofern unerfreulich, als hier viele Mitglieder ihren Input geliefert haben, der von dir größtenteils unverarbeitet blieb. Das Risiko besteht natürlich immer, aber in einer ernsthaften Diskussion sollte ein ernsthaftes Fazit desjenigen, der die Frage gestellt hat (!) nicht ausbleiben.

Zitat:

Original von Okuytb
im Gegensatz zu Dir hat zweiundvierzig stets ruhig und sachlich argumentiert

Hast du das auf Seite 2 auch schon so wahrgenommen?
(Rhetorische Frage smile

)

Zitat:

Original von Okuytb
Wer bist denn du eigentlich, der Krösus? Gibst mir hier überhaupt keine Antwort auf meinen Eingangspost und fängst gleich an zu stänkern?! hat dieses Forum niemanden der für Ordnung sorgt?

17.05.2019, 10:51

Okuytb

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@zweiundvierzig

Zitat:

Original von zweiundvierzig

im Gegensatz zu Dir hat zweiundvierzig stets ruhig und sachlich argumentiert

Hast du das auf Seite 2 auch schon so wahrgenommen?
(Rhetorische Frage smile

)

Zitat:

Dieser Satz war auf HAL 9000 bezogen. Das siehst du daran, dass ich den darauf folgenden Post mit @zweiundvierzig begonnen habe.

Leider warst du schneller beim Antworten. Wir haben beide um 00:00 Uhr geantwortet.

@HAL 9000

Du bist ein richtiges ... Tanzen

Zitat:

Im Gegensatz zu dir bin ich nicht ausgewichen: Du hast nach einer bijektiven Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gefragt - ich habe geliefert.

Diese Aussage ist völlig irrelevant, da Sie nach meiner ausdrücklichen Aussage gefallen ist, dass ich nicht mehr mit der Person schreiben werde. Es war ein Fehler auf dessen Abbildung einzugehen.

Und jetzt versuche ich in einem Satz zu beantworten, warum mich das mit den unendlichen Teilmengen nicht zufrieden stellt:

Es war ein Fehler für unendliche Mengen/Elemente ein Element als Zuweisung in den natürlichen Zahlen zu finden.

18.05.2019, 12:48

forbin

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Wolltest du uns nicht schon vor ein paar Posts den Gefallen tun und verschwinden verwirrt

18.05.2019, 13:32

Elvis

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@Okuytb
Du bist offensichtlich ein Komiker, der die Tatsachen verdreht. Es ist ein Irrtum zu glauben, dass die Mathematik dich nicht zufrieden stellt. Du stellst die Mathematik nicht zufrieden. Wenn ein Mensch nicht mit Mathematik klar kommt, liegt das immer am Menschen und niemals an der Mathematik.

19.05.2019, 14:42

Okuytb

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@forbin
Also höre ich heraus, ich solle verschwinden?!
Schön das du deinen ersten und wohl einzigen Post hier für eine solche Aussage verschwendest. Fachliches habe ich von dir eher nicht zu erwarten, davon gehe ich nun aus.

@Elvis
Please back to topic...

19.05.2019, 16:18

Elvis

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... what topic verwirrt

"Es war ein Fehler für unendliche Mengen/Elemente ein Element als Zuweisung in den natürlichen Zahlen zu finden."
Das verstehe ich nicht.

19.05.2019, 16:37

Okuytb

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@Elvis

Dann sag doch einfach, dass du meine Aussage nicht verstehst und fange nicht an in Belanglosigkeiten abzuschweifen.

f:N->N,n|->n

ist eine bijektive Abbildung von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen, sicher bekannt als Identität. Sage mir, wie kann ich ... (bekannt auch als immer so weiter) eine explizite Zuweisung geben, wenn ich ... nicht kenne.

Imao ist das ebenfalls für die unendlichen Teilmengen der Abbildung im ersten Post der Fall. Wer kam nur auf die Idee, unendliche Teilmenge selber unter einem Symbol als neues Element zusammen zu fassen, wenn es doch offensichtlich ist, das sich unendlich nicht verständlich zusammenfassen lässt.

19.05.2019, 17:12

Iorek

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Auf den gesamten Thread mag ich an dieser Stelle nicht weiter eingehen, das ist mir persönlich zu dumm. Aber da ich ja diese bösen unendlichen Teilmengen ins Spiel gebracht habe mag ich doch einmal nachfragen: du hast doch in deiner angeblichen Bijektion ebenfalls diese schöne Schreibweise "..." verwendet und bist davon ausgegangen, dass wir alle verstehen was du damit meinst und wie sich das "bis ins unendliche fortsetzen lässt". Wenn du dich jetzt also daran aufhängst, dass ... nicht hinreichend genau sagt was gemeint ist, dann ist allein damit deine angegebene "Bijektion" fragwürdig.

19.05.2019, 17:34

Okuytb

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Da hast du Recht Iorek, nur trifft dass dann auf alle Abbildungen zu, die unendliche Mengen abbilden. Für mich ist es wichtig herauszustellen, wo denn der Unterschied zwischen der ersten, wenn du so willst 'meiner Abbildung' oder der einfachen Identität ist.

Verständlich kann ich die Mengen der natürlichen Zahlen z.B. als 1,..., n angeben, wobei n beliebig wachsen kann, aber letztendlich, wenn ich technisch damit arbeiten möchte, muss ich n explizit kennen.

Doetwas wie 1 ..., n,...zu kennen (man beachte ... nach n) ist unverständlich, da ich das Ende von ... nicht explizit angeben kann.

19.05.2019, 17:47

Leopold

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Möglicherweise hast du schlicht nicht verstanden, was unendlich bedeutet. Oder sagen wir es genauer: abzählbar unendlich. Ich komme durch deine merkwürdige Formulierung

Verständlich kann ich die Mengen der natürlichen Zahlen z.B. als 1,..., n angeben, wobei n beliebig wachsen kann

darauf. In deiner Beschreibung 1,...,n gibst du ein letztes n an. Du sagst zwar, daß das immer größer werden kann. Es nützt aber alles nichts: Du beschreibst damit nicht die Menge der natürlichen Zahlen. Denn ein solches letztes n gibt es in der Menge der natürlichen Zahlen nicht: 1,2,3,...
"Unendlich" ist nicht dasselbe wie "wahnsinnig groß endlich mit hinausschiebbarem Ende".

20.05.2019, 12:40

Okuytb

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Hallo Leopold,

du hast ja Recht, dass die natürlichen Zahlen mit 1,...,n,... definiert sind.

Nur ist die Definition unverständlich, weil sie suggeriert, man könne diese Art der Definition als Zusammenfassung zu einem neuen Element verstehen, nämlich der natürlichen Zahlen. Nur leider ist diese Zusammenfassung immer unvollständig und damit unverständlich.

Eine wesentlich anschaulichere Definition ist 1,...,n, wobei n beliebig groß werden kann.
Warum ist das so? Nun, weil ich mir der Unverständlichkeit von unendlich bewusst werde! Schon der Begriff ist verhext: abzählbar unendlich

Ja was denn nun, abzählbar und damit endlich, oder eben nicht abzahlbar und nur unendlich. So etwas wie abzahlbar und unendlich ist unverständlich.

Kannst du mir denn den Unterschied nennen zwischen

1,...,n,...

und

1,...,n, wobei n beliebig groß

Danke.

Im Übrigen schweifen wir etwas ab von der eigentlichen Thematik, die da lautet,

Warum muss ich unendlichen Teilmengen ein Element aus den Natürlichen Zahlen für meine Abbildung im Ausgangspost zuordnen können.
Wenn jemand von mir das erwartet, frage ich Ihn, worauf wird denn das letzte Element der natürlich Zahlen unter der Identität abgebildet.

20.05.2019, 12:54

Elvis

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Eine Bijektion muss insbesondere surjektiv sein, also jedem Element der Zielmenge ein Element der Definitionsmenge zuordnen. Die Potenzmenge der natürlichen Zahlen besteht aus allen Teilmengen der natürlichen Zahlen, dazu gehören auch alle unendlichen Teilmengen der natürlichen Zahlen. Also muss eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to \mathbb P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ zu jeder unendlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen eine natürliche Zahl als Urbild haben.

Es gibt kein letztes Element der natürlichen Zahlen.

Die Identität $\begin{eqnarray*} I:\mathbb N\to \mathbb N,n\mapsto I(n)=n \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab, also hat jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein Bild ( $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung), jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist ein Bild ( $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist surjektiv), und $\begin{eqnarray*} n\ne m \Rightarrow I(n)=n\ne m=I(m) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist injektiv). Also ist $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ eine Bijektion.

20.05.2019, 14:17

Iorek

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Zitat:

Original von Okuytb
Ja was denn nun, abzählbar und damit endlich, oder eben nicht abzahlbar und nur unendlich. So etwas wie abzahlbar und unendlich ist unverständlich.

Auch wenn die Begriffe abzählbar/überabzählbar zu Beginn eines Studiums wohl ungewöhnlich sind und man dazu einige schöne und verblüffende Beispiele bringen kann, "unverständlich" ist das wohl nur, wenn man sich nicht damit beschäftigt.

Zitat:

Original von Okuytb
Kannst du mir denn den Unterschied nennen zwischen

1,...,n,...

und

1,...,n, wobei n beliebig groß

Gehen wir mal davon aus, dass wir uns auf eine Bedeutung der Pünktchen einigen können, dann steht oben eine Menge mit unendlich vielen Elementen, unten eine Menge mit endlich vielen Elementen. Ich greife einfach mal auf den guten Graham zurück und setze $\begin{eqnarray*} n=G_{42} \end{eqnarray*}$ . Diese Zahl ist wohl größer als sich die meisten Menschen überhaupt vorstellen können bzw. es überhaupt wagen diese Giganströsität anzugehen, aber trotzdem sind in der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,\ldots, G_{42}\} \end{eqnarray*}$ nur endlich viele Zahlen vorhanden und damit deutlich weniger als es natürliche Zahlen gibt.

Zitat:

Original von Okuytb
Im Übrigen schweifen wir etwas ab von der eigentlichen Thematik, die da lautet,

Warum muss ich unendlichen Teilmengen ein Element aus den Natürlichen Zahlen für meine Abbildung im Ausgangspost zuordnen können.
Wenn jemand von mir das erwartet, frage ich Ihn, worauf wird denn das letzte Element der natürlich Zahlen unter der Identität abgebildet.

Ganz einfach: du willst eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \operatorname{Pot}(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ angeben, also musst du jede Teilmenge der natürlichen Zahlen treffen. Insbesondere also auch alle unendlichen Teilmengen.

20.05.2019, 14:27

HAL 9000

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Ich glaube, jetzt habe ich langsam das Argumentationschema von Okuytb verstanden:

Er ist allem Anschein nach der Ansicht, dass jede Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ (auch die unendlich großen) eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ ist, solange man nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ "genügend groß" wählt. Das "schafft" er, indem er kurzerhand auch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als natürliche Zahl deklariert, und im Bedarfsfall dann eben $\begin{eqnarray*} n=\infty \end{eqnarray*}$ wählt, dann wird aus $\begin{eqnarray*} \{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ schlicht $\begin{eqnarray*} \{1,2,\ldots,\infty\} = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , und alles ist in schönster Ordnung.

So einfach kann also Mengenlehre sein. Big Laugh

20.05.2019, 14:47

Elvis

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Das passt recht gut zur Theorie der Ordinalzahlen, in der $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ die Limeszahl der endlichen Ordinalzahlen ist. Stimmt auch gut überein mit der von Neumannschen Konstruktion der natürlichen Zahlen als ineinander geschachtelter Mengen und der Menge der natürlichen Zahlen als deren Vereinigung. Leider passt diese Vorstellung nicht gut zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Der Anfang der Mengenlehre ist einfach, der nächste Schritt aber nicht.

20.05.2019, 15:32

Okuytb

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Tut mir leid, für mich klingt das alles schön und wahrscheinlich auch belegt durch fundierte Literatur.

Cantor hat mal geschrieben:

Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten, unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen.

Richtig ist, dass hier nirgends der Begriff 'verständlich' zu finden ist.
Falsch ist, dass man von dieser Definition ableiten kann, dass Mengen in der Mathematik verständlich sein müssen.

Wie hat noch Aristoteles gesagt. Die Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile. Ja was macht den diesen Unterschied aus?

Vielleicht sollte man die neue Definition:

Eine Menge ist die verständliche Zusammenfassung von bestimmten, unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen.

Mathematik tut so, als würde Sie Verständnis schaffen, im Gegenteil, durch das wegfallen wichtig Adjektive bleibt dem Mathematiker sehr viel Spielraum Dinge mal so mal so auszulegen.

Für mich wäre jede Menge von Elementen verständlich, deren Elemente ich nacheinander erkennen kann, gedacht in einer endlichen Zeit.

Wer von euch hat denn schon mal bis unendlich gezählt? (Ich hoffe Chuck Norris hört nicht zu)

20.05.2019, 15:35

Iorek

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Und damit haben wir die Thematik gänzlich verlassen. Bloß weil kluge Leute irgendwann mal irgendetwas gesagt haben und man diese klugen Aussagen von klugen Leuten irgendwie zitiert ist das vielleicht in den Geisteswissenschaften etwas wert, in der Mathematik kommt man damit aber nicht weit. Wink

20.05.2019, 15:35

Leopold

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@ HAL

Du bringst Okuytbs Schwierigkeiten auf den Punkt. Die Sache ist vom Verständnis her vielleicht gar nicht so einfach, wie man als professioneller Mathematiker denkt. Die Idee der natürlichen Zahlen ist doch, vulgär gesprochen: "immer noch eine". Das ist also ein Prozeß. Etwas kommt zu etwas bereits Vorhandenem noch dazu. Die mathematische Auffassung ist nun, daß $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ , obwohl es prozeßmäßig beschrieben ist, doch als ein fertiges Ganzes existiert. Diesen gedanklichen Schritt wagt Okuytb noch nicht. Er traut sich nicht von "viel und immer mehr" auf "schon unendlich viel da".
Ähnliche Schwierigkeiten haben viele Menschen, zu verstehen, warum $\begin{align*} 0{,}\bar{9} = 1 \end{align*}$ ist. Aus den Anfängen des Matheboard: 0 Komma Periode 9, speziell mein Beitrag dazu.

20.05.2019, 18:26

Elvis

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Euklid hatte vermutlich die gleichen Probleme in der Geometrie. Für Euklid war das, was wir heute eine Gerade nennen, das was wir heute eine Strecke nennen, die man beliebig oft verlängern kann. Genau so sein Beweis, dass es nicht endlich viele Primzahlen gibt. Für (viele von) uns ist es heute selbstverständlich, zu sagen: "Es gibt unendlich viele Primzahlen, weil Euklid das bewiesen hat."

@Okuytb
Wir Mathematiker verstehen dank Cantor (und seinen Nachfolgern) endliche und unendliche Mengen. Es gibt unter uns keine Zweifel, dass wir eine für uns verständliche Sprache entwickelt haben, in der wir für uns verständliche Dinge besprechen können. Du bist herzlich eingeladen, Mathematiker zu werden, wir helfen dir gerne dabei. Am Anfang musst du glauben, dass wir recht haben, ohne Gehirnwäsche kannst du nie zu uns gehören. Augenzwinkern

20.05.2019, 18:34

Okuytb

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@Leopold

Offensichtlich ist 0.99... nicht 1.

Ganz offensichtlich gilt x=x für alle Einsetzungen von x.

Ich kann dieses Beispiel nicht verstehen.

Was beim Denken passiert ist, ich sehe 0 dann 9 und dann .... In meinem Denken passiert folgendes:

noch eine 9 und noch eine 9...

ah wenn ich das weiter mache, hat mir mal jemand gesagt/gezeigt, dass da kein Unterschied mehr ist.

Ich denke so:

0.99 ... ist offensichtlich algebraische nicht dasselbe wie 1, symbolisch! Was meint man mit 0.99...?

Je früher ich diesen Unterschied erkenne, desto eher hat man einen Ausweg aus diesem gedanklichen Dilemma erkannt.

Mal drüber nachgedacht, warum Mathematiker als Gleichheitssymbol ein symmetrisches Zeichen eingeführt haben, welches orthogonal zur Leserichtung gedacht gehört? Schon das sich das Gleichheitszeichen aus zwei Strichen zusammensetzt suggeriert, hier will ich unterscheiden.

Danke und tschüß.

20.05.2019, 18:39

Elvis

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Zitat:

Original von Okuytb
Offensichtlich ist 0.99... nicht 1.

Offensichtlich doch, aber nicht für jeden offensichtlich. Wenn du es nicht glauben willst, dann musst du es nicht glauben. Dann ändert sich für dich nichts und für die Mathematik auch nicht.

20.05.2019, 19:15

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Was meint man mit 0.99...?

Zunächst einmal ist dies die nicht formale Schreibweise für $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ . Dies ist definiert als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 9\cdot 10^{-k} \end{eqnarray*}$ . Nach Formel für die geometrische Reihe ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 9\cdot 10^{-k} = \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} \end{eqnarray*}$ . Das lässt sich mit Bruchrechnung sehr leicht zu 1 vereinfachen.

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