Potenzmenge der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich - Seite 3

20.05.2019, 19:43

Okuytb

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@Elvis
Sprache ist nicht gleich Sprache. Wenn wir uns inhaltlich verstehen, sprechen wir außerhalb formeller Strukturen. Das ist mir lieber.

@Guppi12
Nur das du eben einen lim_n...(1/10)^n im Zähler unterschlägst, was meinen Gedankengang komplettiert.

20.05.2019, 21:05

Guppi12

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Ich unterschlage gar nichts. Siehe https://de.m.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe.

In der Formel steht kein Limes. Die Reihe selbst ist über einen Grenzwert definiert, im Reihenwert ist der schon ausgewertet.

Ich sehe gerade, dass auf der Wikipediaseite sogar genau diese Reihe als Beispiel angegeben ist, du kannst es also auch dort noch einmal nachlesen ;-)

20.05.2019, 22:16

Okuytb

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Formal steht der Limes dort. Dass er in der Formel als =0 gesetzt wird, ist der Definition des Grenzwertes folglich.

Strenggenommen steht dort (q)^n für n immer größer. Was du hier machst ist einen Wert als Grenzwert zu identifizieren, dass ist strenggenommen nicht "ist gleich", mehr eine Vereinbarung im Sinne "nähert sich dem Wert beliebig an".

21.05.2019, 09:18

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 0,\overline 9=1,\overline 0 \end{eqnarray*}$ gilt nicht annähernd sondern exakt, weil reelle Zahlen Aequivalenzklassen von Cauchyfolgen rationaler Zahlen modulo Nullfolgen sind. Das sprachliche Herumeiern mit "beliebig annähern" gehört in die Mottenkiste der Mathematikgeschichte, wo wir auch die Unterscheidung zwischen potentiell unendlich und aktuell unendlich finden.

21.05.2019, 10:16

Okuytb

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@Elvis

Mir ist sehr bewusst, warum du nun auf Cauchy-Folgen kommst, sind diese wesentlich nichts anderes als unendliche Mengen.

Es sei aber in Erinnerung zu rufen, dass die Menge der Cauchy-Folgen mit dem selben Grenzwert eine Zusammenfassung von mehreren möglichen Repräsentationen EINER ZAHL ist, das macht sie deswegen nicht gleich. Die Äquivalenzrelation ist kein 'du darfst jetzt Gleichheit' annehmen. Strenggenommen sind diese beiden Objekte wesentlich verschieden, auch wenn Sie als Zusammenfassung in derselben Äquivalenzklasse leben.

21.05.2019, 10:49

Guppi12

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Zitat:

Strenggenommen steht dort (q)^n für n immer größer. Was du hier machst ist einen Wert als Grenzwert zu identifizieren, dass ist strenggenommen nicht "ist gleich", mehr eine Vereinbarung im Sinne "nähert sich dem Wert beliebig an".

Die übliche Sichtweise der Mathematik ist da anders. Ob ein Wert als Grenzwert entsteht oder nicht, ist der Mathematik egal, sie sind gleich.
Es ist dein gutes Recht, eine andere Sichtweise zu vertreten, du kannst ja deine eigenen Definitionen verwenden, niemand hindert dich. Es hat aber keinen Sinn, zu diskutieren, ob etwas gleich ist oder nicht, wenn die Gesprächspartner nicht die selben unterliegenden Definitionen verwenden, da muss man sich entweder auf eine Definition einigen oder akzeptieren, dass man nicht zu gleichen Ergebnissen kommt.

Daher klinke ich mich hier aus dem Gespräch aus. Du hast denke ich verstanden, warum die Gleichheit richtig ist, wenn man nicht zwischen Werten wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ unterscheidet und ich habe verstanden, warum es nicht gleich ist, wenn man da einen Unterschied macht. Es gibt also in diesem Punkt nichts mehr zu bereden.

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21.05.2019, 11:03

Okuytb

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@Guppi12

Zitat:

Die übliche Sichtweise der Mathematik ist da anders. Ob ein Wert als Grenzwert entsteht oder nicht, ist der Mathematik egal, sie sind gleich.

Ich hoffe und wünsche mir, dass diese Tatsache nicht der übliche Duktus ist. Mathematiker vergessen wohl gerne, auf was sie aufbauen.

Wenn ich keinen Unterschied mache, dann übersehe ich diesen Unterschied. Du erkennst offensichtlich das da ein Unterschied ist, möchtest aber dennoch, weil üblich, weiterhin daran festhalten. Selbstverständlich ist das doch nichts, was ich jemandem verbieten möchte.

Mathematiker sind Gleichmacher, streng genommen.

Ob es nun 0.99... =1 ist oder unendlichen Mengen unter einem Element zusammenzufassen.

21.05.2019, 11:14

Elvis

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Eine Folge ist keine Menge. Du darfst nicht alles gleichmachen, das dürfen nur Mathematiker. Big Laugh

Big Laugh

Reelle Zahlen sind Cauchyfolgen modulo Nullfolgen. Man kann sie auch anders definieren. Weil es bis auf Isomorphie nur einen Körper der reellen Zahlen gibt, ist es aber egal, wie man sie definiert.

21.05.2019, 11:18

KeinGastMehr

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Zitat:

Original von Okuytb
Es sei aber in Erinnerung zu rufen, dass die Menge der Cauchy-Folgen mit dem selben Grenzwert eine Zusammenfassung von mehreren möglichen Repräsentationen EINER ZAHL ist, das macht sie deswegen nicht gleich. Die Äquivalenzrelation ist kein 'du darfst jetzt Gleichheit' annehmen. Strenggenommen sind diese beiden Objekte wesentlich verschieden, auch wenn Sie als Zusammenfassung in derselben Äquivalenzklasse leben.

Es sei auch in Erinnerung zu rufen, dass $\begin{eqnarray*} \frac12, \frac24, \frac{-1}{-2}, \frac48, \frac{2019}{4038} \end{eqnarray*}$ verschiedene Darstellungen derselben Zahl sind. Trotzdem sind sie gleich.

Was man hier macht, ist, dass man verschiedene Darstellungen derselben Zahl miteinander identifiziert. Eine rationale Zahl ist quasi so definiert. Analog verhält es sich mit reellen Zahlen. Viele Eigenschaften der rationalen und reellen Zahlen brechen zusammen, falls man diese Identifikation nicht vornimmt. Wie soll man z.B. $\begin{eqnarray*} \frac12 + \frac34 \end{eqnarray*}$ berechnen, ohne zumindest gedanklich $\begin{eqnarray*} \frac12 = \frac24 \end{eqnarray*}$ zu nutzen? Wie gesagt, mit reellen Zahlen verhält es sich ähnlich.

Im Übrigen sind auch $\begin{eqnarray*} 5-4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ verschiedene Darstellungen derselben Zahl. Man sollte also, wenn man deinen Gedanken folgen wollte, genaue Spielregeln definieren, welche Zahlen als gleich anzusehen sind und welche nicht. "Aus einem Grenzwert entstehen" ist zu schwammig, jede Zahl $\begin{eqnarray*} x [latex]\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ [/latex] entsteht aus einem Grenzwert: $\begin{eqnarray*} x = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x} \end{eqnarray*}$ . Ist jetzt $\begin{eqnarray*} x \neq \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x} \end{eqnarray*}$ , oder wie habe ich das zu verstehen?

Außerdem kann man ganz abstrakt zeigen, dass es in jeder Gruppe $\begin{eqnarray*} (G, \circ) \end{eqnarray*}$ genau ein neutrales Element geben muss, d.h. es gibt genau ein $\begin{eqnarray*} e \in G \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} g \in G \colon e \circ g = g = g \circ e \end{eqnarray*}$ . Das trifft insbesondere auf $\begin{eqnarray*} (G, \circ) := (\mathbb R, +) \end{eqnarray*}$ zu. Wenn du jetzt Unterschiede zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac1n} \end{eqnarray*}$ machst, brechen also elementare Gegebenheiten der Gruppentheorie zusammen. Das ist jetzt nur ein Beispiel von vielen, man könnte ewig so weitermachen.

21.05.2019, 11:39

Okuytb

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@KeinGastMehr

Streng genommen müsste man die Gleichheit der Äquivalenzrelationen zeigen, die gleiche Menge definieren und dürfte nur mit den Elemente derselben Äquivalenzklasse rechnen dürfen. Das Problem aber dabei ist, keine anderen Elemente wären dann vergleichbar. Nicht N mit Q und auch nicht N oder Q mit R.

Wieso?

Wann sind zwei Elemente, die über unterschiedliche Äquivalenzrelationen definiert wurden gleich?
Gehen wir davon aus, dass wir mit den natürlichen Zahlen beginnen, dann definieren wir ausgehend von diesen neue natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen und sagen im Anschluss, diese Äquivalenzklassen sind gleich der Zahlen der natürlichen Elemente, mit denen ich Sie definiert habe?

Ist denn 1 = (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)?

Offensichtlich nicht, denn x=x, für alle Einsetzungen von x. Gleichmacherei.

21.05.2019, 12:18

KeinGastMehr

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Zitat:

Original von Okuytb
@KeinGastMehr

Streng genommen müsste man die Gleichheit der Äquivalenzrelationen zeigen, die gleiche Menge definieren und dürfte nur mit den Elemente derselben Äquivalenzklasse rechnen dürfen. Das Problem aber dabei ist, keine anderen Elemente wären dann vergleichbar. Nicht N mit Q und auch nicht N oder Q mit R.

Das ist zu schwammig. Was heißt vergleichbar? Was heißt "Äquivalenzrelationen (...), die (sic!) gleiche Menge definieren"?
Je nach Definition ist $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ streng genommen tatsächlich keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ im strengen Sinne. Man nimmt aber diese Identifikation vor, weil es sinnvoll ist. Und es gibt genug Identifikationen, die man nicht vornimmt, weil diese eben nicht sinnvoll ist. Man identifiziert nicht wild Sachen miteinander, wie du das vielleicht glaubst, sondern macht es da, wo es (1) sinnvoll (d.h. kanonisch oder natürlich) ist: was das heißt, kann man sogar formalisieren, (2) Verwirrungen entgegenwirkt.

Zitat:

Original von Okuytb
Wieso?

Wann sind zwei Elemente, die über unterschiedliche Äquivalenzrelationen definiert wurden gleich?
Gehen wir davon aus, dass wir mit den natürlichen Zahlen beginnen, dann definieren wir ausgehend von diesen neue natürliche Zahlen als Äquivalenzklassen und sagen im Anschluss, diese Äquivalenzklassen sind gleich der Zahlen der natürlichen Elemente, mit denen ich Sie definiert habe?

Wann immer man eine gewisse (algebraische) Struktur gegeben hat, so gehören zum Verständnis dieser Struktur auch immer die Abbildungen zwischen solchen Strukturen. Das ist eng mit dem Verständnis dieser Struktur verbunden, wie man an etlichen Beispielen sieht. In diesem Kontext kann man auch Isomorphismen zwischen solchen Strukturen definieren. Dann könnte man zwei solche Strukturen miteinander identifizieren, falls es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Das ist manchmal sinnvoll, manchmal möchte man aber auch zwischen solchen Objekten unterscheiden. Es gibt aber auch Beispiele, bei denen das immer sinnvoll (quasi kanonisch, natürlich) ist, und diese identifiziert man dann miteinander.

Zitat:

Original von Okuytb
Ist denn 1 = (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)?

Wenn du die reellen Zahlen so definierst, wie Elvis es beschreiben hat, dann ist $\begin{eqnarray*} 1_{\mathbb R} := [(1_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q},1_{\mathbb Q},...)] \end{eqnarray*}$ , ja. (Hier bezeichnen die eckigen Klammern die Äquivalenzklasse modulo Nullfolgen und $\begin{eqnarray*} 1_{\mathbb R}, 1_{\mathbb Q} \end{eqnarray*}$ die Einsen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R, \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .)
Es gibt aber eine kanonische Injektion $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \hookrightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und weil sie kanonisch ist (und verträglich mit allen Rechenoperationen), schreibt man $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und wenn du so willst $\begin{eqnarray*} 1 := 1_{\mathbb R} = 1_{\mathbb Q} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du die reellen Zahlen anders definierst, gibt es eine sinnvolle, natürliche, kanonische Identifikation zwischen den beiden Dingen, die man vornimmt, weil sie sinnvoll, natürlich, kanonisch ist.

Zitat:

Original von Okuytb
Offensichtlich nicht, denn x=x, für alle Einsetzungen von x. Gleichmacherei.

Was soll "für alle Einsetzungen von x" bedeuten?

Im Übrigen bist du auf die Hälfte meines Beitrags gar nicht eingegangen.

21.05.2019, 13:07

Okuytb

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Dein Eingangspost mit der Addition zweier rationaler Zahlen oder der Repräsentation derselben rationalen Zahl, habe ich doch nichts entgegenzusetzen. Das passiert alles innerhalb der rationalen Zahlen. Aber, es ist 1/2 ungleich 2/4, aber [1/2]_Q={1/2,2/4,...}=[2/4]_Q, was ja offensichtlich zeigt, das es sich um Menge handelt, Zusammenfassungen. Auf einmal wird (1,2), zu (2,4), Gleichmacherei.

1_N ist niemals gleich 1_Q oder 1_R. Niemals! x=x für alle Einsetzungen von x.

Streng genommen ist 5−4 ungleich 1, 5-4 wird abgebildet auf 1.

Es ist nämlich f(5,4) eine Abbildung auf 1.

Im Endeffekt bilden wir ab. Da rechnet niemand die Gleichheit aus.

Dein dritter Absatz ist für mich zum Teil unverständlich.

1_R ist eindeutig, wenn Cantors Definition verwendet wird. verständlich ist das für mich dennoch nicht, wie einige Posts zuvor erwähnt.

Deinen anderen Post werde ich gleich noch beantworten.

21.05.2019, 13:20

Leopold

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Zitat:

Original von Okuytb
Aber, es ist 1/2 ungleich 2/4, aber [1/2]_Q={1/2,2/4,...}=[2/4]_Q, was ja offensichtlich zeigt, das es sich um Menge handelt, Zusammenfassungen. Auf einmal wird (1,2), zu (2,4), Gleichmacherei.

Irrtum. $\begin{align*} \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \end{align*}$ . Der Bruchstrich ist hier das Zeichen für die Bildung der Äquivalenzklasse. Es gibt auch anderes als eckige Klammern.

23.05.2019, 14:07

Okuytb

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@KeinGastMehr

Was ich meine mit die reellen Zahlen sind nicht vergleichbar mit den rationalen Zahlen oder den natürlichen Zahlen ist sehr verständlich und du sagst es ja selbst, dass 1_N ungleich 1_R oder 1_Q ist.
Ausgehend von einer Axiomatik, die mit den natürlichen Zahlen beginnt, muss man vollständig neue natürliche Zahlen definieren.

Das dann eine Injektion 'Teilmenge von' bedeuten soll ist insofern unverständlich, als dann 1_N niemals 1_Q oder 1_R ist.

Eine Injektion ist nur als Abbildung zu verstehen.

Zitat:

Es gibt aber eine kanonische Injektion ℚ↪ℝ, und weil sie kanonisch ist (und verträglich mit allen Rechenoperationen), schreibt man ℚ⊂ℝ und wenn du so willst 1:=1ℝ=1ℚ.

Das ist Humbug. Ich kann Teilmengen nur als solche identifizieren, wenn diese Elemente auch tatsächlich darin vorkommen. Es ist nicht 1_N =1_Q oder 1_R. Wenn Gleichheit Bijektion bedeutet, ist alles auf einmal gleich, denn ich kann auch Injektionen nicht als

1-- (1,1,1,1,1,..)
2-- (2,2,2,2,2,...)

sondern auch ganz anders. Meinst du bei Injektion womöglich Monomorphismus.

@Leopold

Ja gut, dann meinte ich (1,2) ungleich (2,4), aber [(1,2)]_Q={(1,2),(2,4),...}=[(2,4)]_Q.

23.05.2019, 14:25

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Okuytb
Das ist Humbug. Ich kann Teilmengen nur als solche identifizieren, wenn diese Elemente auch tatsächlich darin vorkommen.

In der alltagsüblichen Mathematik werden Isomorphismen oft mit Identitäten identifziert, weil man sich sonst in formalen Exzessen erginge -- so wie in KeinGastMehrs Beispiel.

Die mathematische Sprache, in der man arbeitet, ist selbst keine formales System im Sinne der Logik und das ist auch ganz gut so.

23.05.2019, 14:48

Okuytb

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@zweiundvierzig

Vereinfachungen sind immer gern gesehen, dennoch ist Injektion nicht als Teilmenge von zu verstehen IMAO.

Wenn ich die Struktur mitnehme, also Monomorphismen anstelle Injektionen verwende, dann sage ich ja, das geht.

Zitat:

Die mathematische Sprache, in der man arbeitet, ist selbst keine formales System im Sinne der Logik und das ist auch ganz gut so.

Warum das? Ich würde sogar das Gegenteil sagen.

23.05.2019, 16:37

KeinGastMehr

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@Okuytb

Du hast meine Posts offensichtlich nicht genau genug gelesen. ich sage nicht, dass "Gleichheit Bijektion bedeutet", und ich habe auch nicht gesagt, dass "Injektion 'Teilmenge von' bedeuten soll". Du kannst nicht einfach die Substanz meines Beitrages ignorieren und mir dann Worte in den Mund legen, die ich so nie gesagt habe. Keiner hat behauptet, dass Injektionen grundsätzlich als Teilmengen zu verstehen wären.

Und du hast immer noch nicht beantwortet, was "x=x für alle Einsetzungen von x" bedeuten soll.

23.05.2019, 20:13

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Okuytb
Warum das? Ich würde sogar das Gegenteil sagen.

Mathematik zu formalisieren würde bedeuten, dass man sie in einem formalen System formuliert, wie Code in einer Programmiersprache. Das macht man aber in der Alltagsmathematik nicht, denn der Ertrag im Verhältnis zum Aufwand wäre fraglich.

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