Sinusformel in Polynom umformen

15.05.2019, 09:10

C.K.93

Sinusformel in Polynom umformen

Meine Frage:
Schönen guten Tag,

ich habe folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} 2^{16}*\sin(\left(x+0.5\right)*\frac{\pi}{2*Stützpunkte}) \end{eqnarray*}$

Nun müsste ich daraus ein Polynom erstellen, nur leider hab ich keine Ahnung wie ich das machen kann.
Wichtig wäre das es nicht größer als ein Polynom 6. Grades wird.

Meine Ideen:
Keinen Plan

Gruß
Christoph

15.05.2019, 09:16

Steffen Bühler

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RE: Sinusformel in Polynom umformen
Willkommen im Matheboard!

Soll der Grad des Polynoms von der Anzahl der Stützpunkte abhängen? Oder gibt es vielleicht noch weitere Informationen für diese Funktion?

Viele Grüße
Steffen

15.05.2019, 09:18

C.K.93

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Hallo Steffen,

habs gerade angepasst Augenzwinkern

Sollte nicht größer als 6. Grad sein Hammer

Optimal wäre 5. Grades.

15.05.2019, 09:20

Steffen Bühler

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Und wieviel Stützpunkte gibt es nun typischerweise?

15.05.2019, 09:21

C.K.93

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Es wären 256 Stützpunkte

15.05.2019, 09:28

Steffen Bühler

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Am schnellsten geht's mit Excel. Sechs Stützstellen (z.B. 0 bis 250 in 50er-Schritten), polynomische Trendlinie reinlegen, fertig.

15.05.2019, 09:31

C.K.93

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Entschuldige die Frage, aber was ist eine polynomische Trendlinie? verwirrt

In Excel hab ich des ganze schon als Formel implementiert und kann eine Sinusperiode dadurch darstellen. Ist des eine Excelfunktion für die polynomische Trendlinie?

15.05.2019, 09:34

Steffen Bühler

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Ich hab das hier mal erklärt.

Viele Grüße
Steffen

15.05.2019, 09:36

C.K.93

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Super, vielen Dank dir Gott

15.05.2019, 09:37

HAL 9000

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@C.K.93

Ich hab immer noch nicht verstanden, was du genau willst. Erstmal die bisherigen Fakten zusammengetragen: Es geht um Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2^{16}\cdot \sin\left( (x+0.5)\cdot \frac{\pi}{2n}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=256 \end{eqnarray*}$ Stützpunkten,

und die soll durch ein Polynom maximal sechsten Grades approximiert werden.

1) Wie sehen die 256 Stützpunkte genau aus?

2) Es dürfte i.a. unmöglich sein, ein solches Polynom aufzustellen, welches an allen (!) 256 Stützpunkten mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ übereinstimmt, d.h., es kann hier nicht um Interpolation sondern allenfalls nur um Approximation gehen. Hast du eine Vorstellung, nach welchen sonstigen Kriterien das Polynom bestimmen werden soll - vielleicht Regression (d.h. gemäß MKQ = Methode der kleinsten Quadrate) über die Stützpunkte? Eine andere Möglichkeit wäre Interpolation für dann allerdings maximal 7 der 256 Stützpunkte, das ist genau der Vorschlag von Steffen.

15.05.2019, 14:30

C.K.93

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Stützpunkte wollte mein Prof variabel haben und sind für die Abtastrate der späteren Umsetzung in Hardware. Ja es geht um eine Approximation, da meine Bachelorarbeit die Synthese eines polynomialen Sinusgenerators ist und mein Prof will das ich aus dem tabellarischen Ansatz das zugehörige Polynom mit geringer Fehlerabweichung finde das besser ist als sein Polynom 6. Grades.

15.05.2019, 16:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von C.K.93
das ich aus dem tabellarischen Ansatz das zugehörige Polynom mit geringer Fehlerabweichung finde das besser ist als sein Polynom 6. Grades.

Das ist genau die Frage, was man darunter versteht. verwirrt

Üblicherweise nimmt man dazu die Summe der Quadrate der Fehlerabweichungen an den Stützstellen, das würde dann auf MKQ/Regression hinauslaufen: Diese Fehlerquadratsumme lautet für den Polynomansatz $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum_{k=0}^6 a_kx^k \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} Q(a_0,\ldots,a_6) := \sum_{i=1}^n (f(x_i)-p(x_i))^2 = \sum_{i=1}^n \left(f(x_i)-\sum_{k=0}^6 a_k x_i^k\right)^2 \end{eqnarray*}$

und dieses Funktional ist bzgl. der Polynomkoeffizienten $\begin{eqnarray*} a_0,\ldots,a_6 \end{eqnarray*}$ zu minimieren. Das ist ein Standardproblem der Statistik: Multiple lineare Regression, das Ergebnis konkret hier ist dann

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_6\end{pmatrix} = \left(X^T X\right)^{-1} X^T y \end{eqnarray*}$ mit Matrix $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x_1^6\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \ldots & x_2^6\\ \vdots &\vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \ldots & x_n^6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie Vektor $\begin{eqnarray*} y = \begin{pmatrix} f(x_1)\\ f(x_2)\\ \vdots\\ f(x_n)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das schlimmste daran ist die Invertierung des 7x7-Matrix $\begin{eqnarray*} \left(X^T X\right) \end{eqnarray*}$ , aber ich nehme ja nicht an, dass du das "zu Fuß" tun musst. Augenzwinkern

15.05.2019, 16:20

Steffen Bühler

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Interessant ist hierbei die Wahl der Stützstellen. Mein Vorschlag mit den 50er-Schritten führt z.B. zu einer größeren Abweichung des Polynoms von der Sinuskurve als mit 51er-Schritten, bei denen der letzte Wert auch noch als Stützpunkt enthalten ist.

Weiterhin wäre es interessant herauszufinden, ob nichtäquidistante Stützstellen zu einer noch geringeren Abweichung führen können.

Und letztendlich, ob ein Polynom 5. Grades bei optimaler Stützstellenwahl zu einer geringeren Abweichung führt als das vom Professor gewählte (unbekannte) Polynom 6. Grades.

Insgesamt ein nettes Thema für eine Bachelorarbeit.

Viele Grüße
Steffen

15.05.2019, 22:01

C.K.93

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Ich muss leider gestehen das mir das etwas zu krass ist verwirrt

Versteh leider nicht allzu viel von eurem geschriebenen, da ich Informatiker und deswegen eher der Anwender bin Lehrer

Und leider dazu noch ne Pfeife in Mathe Hammer

Aber vielen Dank für eure super Hilfe, echt schön beschrieben Freude

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