Komposition, injektive und surjektive Abbildung

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Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »
Komposition, injektive und surjektive Abbildung
Meine Frage:
Seien X,Y nichtleere Mengen und sei f: X -> Y eine Abbildung. Zeigen Sie die folgende Aussage:
Es gibt eine Menge Z, eine surjektive Abbildung h: X -> Z und eine injektive Abbildung g: Z -> Y mit f = g o h.

Meine Ideen:
mir ist der Anfang dieses Beweises nicht klar... muss ich annehmen, dass es eine Menge Z gibt, die surjektiv abbildet und dann beweisen, ob es eine injektive Abbildung g gibt... oder muss ich zeigen, dass es eine Komposition gibt?
Danke schonmal für die Hilfe
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird die Existenz einer Menge behauptet. Damit drängt sich die folgende Vorgehensweise auf: faktorisiere mit und konstruiere und passend.
 
 
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich eine surjektive Abbildung konstruieren, welche a und b in X enthalten und durch die Relation enthält Z auch a und b?
Stimmt der Ansatz so?
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich jetzt eine Abbildung konstruieren mit h: X -> Z : a -> a?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Nein. Nein.
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Sie diese Abbildung X bestimmen ist sie injektiv.
wie kann ich dann weitermachen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du, was eine Äquivalenzrelation ist ? Weißt du, dass eine Äquivalenzrelation eine Menge in Klassen zerlegt ? Weißt du, was eine Faktormenge ist ? Weißt du was wohldefiniert, surjektiv und injektiv bedeutet ? Wenn nicht, dann lerne all das, und die Aufgabe ist anschließend trivial. (Wenn man weiß, wie es geht, ist alles trivial. Augenzwinkern Ohne lernen ist alles zwischen schwer und unmöglich.)
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

eine Äquivalenzrelation ist reflexiv symmetrisch und transitiv
die Zerlegung weiß ich auch
ebenfalls weiß ich was surjektiv injektiv bedeutet
ich habe mir die aufgabe bildlich gemalt und es gibt auch Sinn, dass diese Aussage stimmt nur bin ich im formalen beweisen nicht so gut...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine Äquivalenzrelation auf ? Faktormenge ?
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist eine Äquivalenzrelation auf X
aber das Wort Faktormenge ist mir neu...
hat das was mit der Kardinalität zu tun?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Äquivalenzrelation ~ auf einer Menge X zerlegt die Menge X in paarweise disjunkte Äquivalenzklassen. Die Faktormenge X/~ ist die Menge der Äquivalenzklassen. Um dir so gut wie möglich zu helfen, habe ich die Äquivalenzrelation so gewählt, dass a und b genau dann äquivalent sind, also in der gleichen Klasse liegen, wenn sie denselben Funktionswert haben. Was bleibt denn noch zu tun, um eine Funktion von X nach Z zu bauen ? Es gibt doch nur eine sinnvolle Möglichkeit. Genauso gibt es dann nur eine sinnvolle Möglichkeit, eine Funktion von Z nach Y zu bauen.
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

Also es ist eine Äquivalenzrelation, wenn P die Partition ist mit
a ~ b gdw. ein B in P existiert mit: a, b element von B oder?
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

also die Abbildung
h: X -> Z : x -> x?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Partition ist das hochgestochene Wort für Zerlegung.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. x in X ist doch kein Element von Z.
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

ich will es ja wirklich verstehen, aber anscheinend bin ich zu blöd...
ich hörs mir dann in der Übung an, wie das funktioniert...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In X liegen Elemente, in Z liegen Klassen. Was um alles in der Welt kann man denn dann einem Element zuordnen ?
Marco99* Auf diesen Beitrag antworten »

Die Klasse aller einelementigen Mengen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar, das geht doch, weil ~ reflexiv ist, also jedes x in X eine eindeutig bestimmte Klasse h(x)=[x] in Z hat. Behauptung: h ist surjektiv. Beweis ?
Baue g, beweise g ist wohldefiniert und injektiv. Wegen g(h(x))=f(x) kann das nur g([x])=f(x) sein.
Das ist alles Standard, die einzige Idee dabei ist die Aequivalenzrelation.
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