Integral

16.05.2019, 05:33

rafael.martin

Integral

Meine Frage:
Unsere Aufgabe ist es zu beweisen ob oder ob es nicht das Selbe ist.

a)
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! 2\times f(x) \, dx =2\times \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$
\int_{a}^{b} \! 2\times f(x) \, dx =2\times \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx
b)
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \!( f(x))^{2} \, dx = (\int_{a}^{b} \! f(x) \, dx)^{2} \end{eqnarray*}$

\int_{a}^{b} \!( f(x))^{2} \, dx = (\int_{a}^{b} \! f(x) \, dx)^{2}

Meine Ideen:
Ich habe mir eine eigene Funktion bzw ein eigenes a und b ausgedacht und dann geprüft. Bin dann darauf gekommen, dass das erste gleich ist und das zweite ungleich. Das Problem ist, das wir das nicht durch probieren beweisen sollten...
Außerdem heißt es ja nicht, dass wenn bei der a die beiden Integrale für eine Funktion gleich sind, auch für andere Funktionen gleich sind.

16.05.2019, 09:05

Steffen Bühler

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RE: Integral
Willkommen im Matheboard!

Das sollte mit dem Fundamentalsatz der Analysis funktionieren.

Viele Grüße
Steffen

16.05.2019, 10:08

Finn_

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RE: Integral

Zitat:

Das sollte mit dem Fundamentalsatz der Analysis funktionieren.

Da muss man dann aber auch ein wenig vorsichtig sein und die Voraussetzungen dieses Satzes beachten. Es ist alles in Ordnung, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ als stetig vorausgesetzt wird.

Es gibt jedoch auch Funktionen, die Riemann-integrierbar sind, jedoch keine Stammfunktion besitzen. Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ z.B. an einer Stelle einen Sprung macht, aber sonst stetig ist, dann wird die Integralfunktion an der Sprungstelle einen Knick haben, ist dort also nicht differenzierbar und daher keine Stammfunktion.

16.05.2019, 16:10

HAL 9000

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RE: Integral

Zitat:

Original von rafael.martin
Das Problem ist, das wir das nicht durch probieren beweisen sollten...

Das ist nur ein Problem für die richtige Aussage a). Die musst du in der Tat beweisen, dazu reicht eine Beispielfunktion wo es klappt nicht aus.

Bei der falschen Aussage b) hingegen genügt die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels, um die Behauptung zu Fall zu bringen, und da hast du ja eins gefunden! Gib das an, und du bist fertig mit b), denn "Probieren" ist eine durchaus legitime Methode bei der Suche nach Gegenbeispielen. smile

17.05.2019, 11:10

rafael.martin

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RE: Integral
Hallo,

könnten Sie mir eventuell ein wenig weiterhelfen.
Ich habe mir den Wikipediabeitrag durchgelesen, wodurch ich aber leider nicht schlauer wurde.
Vielleicht wäre es hilfreich, wenn Sie mir eine Skizze oder ähnliches zusenden könnten.

Vielen Dank

Rafael Martin

17.05.2019, 11:32

Steffen Bühler

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RE: Integral
Die erwähnte Stetigkeit vorausgesetzt, gilt doch

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(x) \, dx =F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Nun geht es um $\begin{eqnarray*} 2 \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ . Wie lautet denn da die Stammfunktion? Setz die ein und verwende das Distributivgesetz.

17.05.2019, 13:19

Huggy

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RE: Integral
Der Beweis zu a) ist auch direkt über die Definition des Riemannintegrals mittels der Riemannsummen möglich.

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