Vergleich zweier Funktionen

16.05.2019, 10:59	Gabriel98	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergleich zweier Funktionen Meine Frage: Ich muss für meine Bachelorarbeit eine Funktion $\begin{eqnarray} \mathcal{I}(\varepsilon) \end{eqnarray}$ , die stetig, reell und positiv ist, mit einer Approximation $\begin{eqnarray} \mathcal{I}_{\mathrm{approx}}(\varepsilon) \end{eqnarray}$ vergleichen, um herauszufinden wie gut diese ist. Meine Ideen: Leider habe ich nie eine Statistikvorlesung gehört. Meine Idee wäre gewesen, die Größe $\begin{eqnarray} \frac{\int_{\varepsilon_{\mathrm{min}}}^{\varepsilon_{\mathrm{max}}} \! \vert I(\varepsilon)-\mathcal{I}_{\mathrm{approx}}(\varepsilon)\vert \, \mathrm{d}\varepsilon}{\int_{\varepsilon_{\mathrm{min}}}^{\varepsilon_{\mathrm{max}}} \! \vert I(\varepsilon)\vert \, \mathrm{d}\varepsilon} \end{eqnarray}$ aus Anlogie zur relativen Abweichung in der Statistik diskreter Listen auszurechnen. Diese Größe würde mir ja sowas wie die prozentuelle Abweichung anzeigen, oder? Stimmt das? Gibt es noch eine andere, professionellere, Möglichkeit? Wie macht man das sonst normalerweise, denn derartige Vergleiche werden ja sicherlich öfters in Publikationen gemacht... Vielen Dank im vorraus!
16.05.2019, 11:52	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich bieten sich da ohne tiefergründiges Wissen zwei Möglichkeiten an: 1. Wenn wichtig ist, was die Funktionen lokal tun: Der Abstand bezüglich der Maximumsnorm: $\begin{eqnarray} d(f,g) := \\|f-g\\|_{\max} := \max_{x\in [a,b]} \|f(x)-g(x)\| \end{eqnarray}$ Das Maximum muss existieren, wenn die Funktionen $\begin{eqnarray} f,g\colon [a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig sind. 2. Wenn nicht wichtig ist, was die Funktionen lokal tun: Der Abstand bezüglich des arithmetischen Mittels: $\begin{eqnarray} d(f,g) := \\|f-g\\|_1 = \frac{1}{b-a}\int_a^b \|f(x)-g(x)\|\,\mathrm dx. \end{eqnarray}$ Oder der Abstand bezüglich des quadratischen Mittels: $\begin{eqnarray} d(f,g) := \\|f-g\\|_2 = \bigg(\frac{1}{b-a}\int_a^b (f(x)-g(x))^2 \,\mathrm dx\bigg)^{1/2}. \end{eqnarray}$
16.05.2019, 12:43	Gabriel98	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Ich werde die Vorschläge auf jeden Fall ausprobieren. Aber noch mal zurück zu meinem Vorschlag... stimmt diese Formel für die prozentuelle Abweichung?
16.05.2019, 13:18	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Formel gibt eine relative Abweichung. Für eine prozentuale Abweichung wäre noch mit 100 zu multiplizieren. Vermutlich hast du das aber so gemeint. Was man als geeignetes Abweichungsmaß ansieht, ist keine mathematische Frage, jedenfalls keine rein mathematische Frage. Man muss sich schon für die konkrete Problemstellung selbst überlegen, welche Anforderungen man an das Abweichungsmaß stellen möchte oder stellen muss. Bei deinem Abweichungsmaß spielt die absolute Lage der Kurve eine Rolle. Verschiebt man die Kurve und ihre Anpassung nach oben oder unten, ändert sich das Abweichungsmaß, weil der Zähler unverändert bleibt, der Nenner sich aber ändert. Hältst du das für sinnvoll? Diese Frage kann die Mathematik nicht beantworten. Bei den von Finn_ angeführten Abweichungsmaßen spielt die absolute Lage der Kurve dagegen keine Rolle.
16.05.2019, 15:37	Gabriel98	Auf diesen Beitrag antworten »
In meinen Fall handelt es sich um ein physikalisches Problem.....Die Funktion I beschreibt die Anzahl der entstandenen Elektronen bei einer bestimmten Teilchenphysikalischen Prozesses pro Energie des Elektrons...... Was ich eben wissen will ist, um wie viel Prozent meine Approximation von der analytischen Rechnung abweicht. Da meine Funktion in natürlichen Einheiten ist, möchte ich, dass mein Abweichungsmaß unabhängig von der Wahl der gewählten Einheit ist.

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