Logarithmus, allgemeine Potenzen, injektiv, surjektiv

16.05.2019, 19:08

Marcel20XO

Logarithmus, allgemeine Potenzen, injektiv, surjektiv

Meine Frage:
Hallo,

Ich hänge grad an der Aufgabe hier fest. Siehe Bild

[attach]49260[/attach]

Meine Ideen:
Ich weiß wie ich die Injektivität bei einer Funktion wie f : R -> R mit f(x) := 2x + |x|. In dem ich Fall Unterscheidungen für x >= 0 und x < 0 und dann halt noch beides zusammen.

Jetzt aber steh ich bei der Aufgabe aufm Schlau und hoffe auf eure Unterstützung.

16.05.2019, 19:49

HAL 9000

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Sofort zu sehen ist, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sowohl auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (-3,13] \end{eqnarray*}$ als auch auf $\begin{eqnarray*} (13,\infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist, man bekommt damit

$\begin{eqnarray*} f((-3,13]) = (-\infty,f(13)] = (-\infty,4] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f((13,\infty)) = (f(13+0),\infty) = (c+1,\infty) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt überleg mal, wie das bei der Beantwortung der Fragen 1 und 2 helfen kann.

16.05.2019, 21:19

Marcel20X0

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Die beiden Funktion schneiden sich ja für c <= 3 dann wäre es ja dafür für diesen Fall injektiv.
Stimmt es soweit?
Ich tuh mich echt schwer damit sry im voraus unglücklich

16.05.2019, 22:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marcel20X0
Ich tuh mich echt schwer damit

Der erste wichtige Schritt ist natürlich, sich mit den Definitionen von injektiv/surjektiv richtig zu befassen!

Für $\begin{eqnarray*} c\leq 3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (-\infty,4]\cup (c+1,\infty)=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , das ist aber kein Kennzeichen von Injektivität, sondern...

Für $\begin{eqnarray*} c\geq 3 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (-\infty,4]\cap (c+1,\infty)=\emptyset \end{eqnarray*}$ , und das bedeutet in Verbindung mit der o.g. strengen Monotonie...

16.05.2019, 23:38

Marcel20X0

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Ach ich hab die Defenition komplett vertauscht. Bei der Surjektivität muss es für jeden f(x)-Wert mindestens ein x geben muss, das auf ihn abbildet. Und das ist für alle Werte hier abgedeckt für den Intervall $\begin{eqnarray*} \left(-\infty ,4\right]\cup \left(c+1,\infty \right) \end{eqnarray*}$ für c $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$
und somit Surjektiv.

Eine Streng monotone Funktion ist auch injektiv, dies muss ich aber locker nochmal extra beweisen.

Lieg ich soweit richtig?

Und danke das du dir die Zeit nimmst smile

17.05.2019, 09:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von Marcel20X0
Ach ich hab die Defenition komplett vertauscht. Bei der Surjektivität muss es für jeden f(x)-Wert mindestens ein x geben muss, das auf ihn abbildet. Und das ist für alle Werte hier abgedeckt für den Intervall $\begin{eqnarray*} \left(-\infty ,4\right]\cup \left(c+1,\infty \right) \end{eqnarray*}$ für c $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$
und somit Surjektiv.

Richtig. Es heißt auch, dass wir für $\begin{eqnarray*} c>3 \end{eqnarray*}$ keine Surjektivität haben, weil da das Intervall $\begin{eqnarray*} (4,c+1] \end{eqnarray*}$ bei den Funktionswerten "fehlt".

Zitat:

Original von Marcel20X0
Eine Streng monotone Funktion ist auch injektiv

Auch richtig. Aber was heißt das jetzt im Kontext dieser Aufgabe?

17.05.2019, 13:30

Marcel20X0

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[QUOTE Manu]Richtig. Es heißt auch, dass wir für c>3 keine Surjektivität haben, weil da das Intervall (4,c+1] bei den Funktionswerten "fehlt".[/QUOTE]

Ist die Surjektivität damit nun komplett bewiesen oder reicht es nicht? Ist ja mit den Intervall eindeutig.

Zitat:

Auch richtig. Aber was heißt das jetzt im Kontext dieser Aufgabe?

der nächste Schritt den ich jetzt machen würde wären Fall unterscheidungen für x und y. Jedoch mangelt es mir da an Erfahrung bei solchen Aufgaben wie ich das mache.

Ich müsste eine für den Ersten Term, dann für den 2, und beide zusammen würde ich jetzt meinen. Wie die genau aussehen würden ist für mich aber noch nicht sichtbar.

17.05.2019, 14:49

HAL 9000

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Für $\begin{eqnarray*} c<3 \end{eqnarray*}$ haben wir eine eche Überlappung $\begin{eqnarray*} (-\infty,4]\cap (c+1,\infty) = (c+1,4] \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ .

D.h., für jedes $\begin{eqnarray*} y\in (c+1,4] \end{eqnarray*}$ finden wir sowohl ein $\begin{eqnarray*} x_1\in (-3,13] \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x_2\in (13,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2)=y \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet natürlich keine Injektivität.

Für $\begin{eqnarray*} c\geq 3 \end{eqnarray*}$ besteht eine solche Überlappung nicht, tatsächlich ist in diesem Fall die Gesamtfunktion streng monoton wachsend (d.h., nicht nur getrennt auf den genannten Teilintervallen) und damit auch injektiv.

17.05.2019, 15:12

Marcel20X0

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Ja klar, aber es so zu schreiben würde denke ich nicht ausreichen.
Die Injektivität für den 2 Term hätte ich wie folgt bewiesen.

$\begin{eqnarray*} 2^{x-13} +c = 2^{y-13} +c \equiv 2^{x-13} = 2^{y-13} \equiv 2^x = 2^y \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$

für den ersten Term würde es denke ich ausreichen die Monotonie zu zeigen, was du ja gemacht hast.

für den Dritten Fall habe ich jedoch keine Idee.

17.05.2019, 15:17

Marcel20X0

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Oder sehe ich das grad alles zu kompliziert und man kann es anhand der Intervalle zeigen und muss es nicht so kompliziert machen wie ich?

Edit: obwohl in der Aufgaben Stellung steht man solle geschaltete Fall Unterscheidung machen.

17.05.2019, 15:38

HAL 9000

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Strenge Monotonie impliziert Injektivität, soweit waren wir oben doch schon mal.

Nun haben wir strenge Monotonie sowohl für die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} (-3,13] \end{eqnarray*}$ als auch für die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} (13,\infty) \end{eqnarray*}$ , das ist nichts Neues, weiß also nicht, warum du das hier durch solche Betrachtungen

Zitat:

Original von Marcel20X0
$\begin{eqnarray*} 2^{x-13} +c = 2^{y-13} +c \equiv 2^{x-13} = 2^{y-13} \equiv 2^x = 2^y \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$

nochmal langwierig wiederholst. Das Problem ist doch eher die Monotonieeigenschaft für Argumente aus unterschiedlichen Teilintervallen dieser geteilt definierten Funktion!

Wenn wir jetzt aber noch $\begin{eqnarray*} f(13)<f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>13 \end{eqnarray*}$ beweisen, haben wir strenge Monotonie auch für die Gesamtfunktion. Dafür ausreichend ist der Nachweis von $\begin{eqnarray*} f(13)\leq \lim_{x\searrow 13} f(x) \end{eqnarray*}$ , das rechts ist der rechtsseitige Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle 13 (manchmal auch salopp als $\begin{eqnarray*} f(13+0) \end{eqnarray*}$ bezeichnet). Nun ist $\begin{eqnarray*} f(13)=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\searrow 13} f(x) = 1+c \end{eqnarray*}$ , damit sollte dann klar sein, was ich gemeint habe.

17.05.2019, 15:52

HAL 9000

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Vielleicht mal noch ergänzend drei Bilder für drei verschiedene Parameter $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , die den kritischen Bereich zeigen (obwohl der Boardplotter Sprungstellen nur sehr gewöhnungsbedürftig darstellen kann):

Erstes Bild $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ : Sprung nach unten an Stelle x=13, keine Injektivität, aber Surjektivität

Zweites Bild $\begin{eqnarray*} c=3 \end{eqnarray*}$ : Stetiger Anschluss bei x=13, strenge Monotonie und Injektivität und ebenfalls Surjektivität

Drittes Bild $\begin{eqnarray*} c=4 \end{eqnarray*}$ : Sprung nach oben an Stelle x=13, strenge Monotonie und Injektivität, diesmal keine Surjektivität

17.05.2019, 15:59

Marcel20X0

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Ach so habe ich injektivität auch noch nie bewiesen, tut mir leid^^ ich kenn nur das eine Verfahren.
Man lernt nie aus.

17.05.2019, 16:24

Marcel20X0

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Ich bedanke mich bei dir für die Hilfe beider Lösung dieser Aufgabe.
Da ich das Thema nun hinter mir habe kann ich wieder beruhigt schlafen.

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