Gerade und Pyramidenspitze berechnen

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Letti Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade und Pyramidenspitze berechnen
Meine Frage:
Hallo,
Ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Über dem Viereck Abcd wird eine senkrechte Pyramide so errichtet, dass M der Mittelpunkt der Pyramidengrundfläche ist. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, auf der die Pyramidenspitze S liegt. Berechnen Sie die Koordinaten von S so, dass die Pyramide die Höhe h=6 Le hat.

Zusatzinformationen A(5/4/1), B(1/8/1), C(-1/4/5), D(3/0/3) und M(2/4/2)

Meine Ideen:
Ein Ansatz wäre jetzt beispielsweise zwei Geraden zu bilden und zu schauen, wo der Schnittpunkt liegt. Jedoch weiß ich nicht, wie ich die 6 LE mit einbeziehen soll. Vielleicht kann mit einer von euch weiterhelfen smile
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gerade und Koordinaten berechnen
Die 5 Punkte der Grundfläche sind alle schon gegeben, weshalb nicht geprüft werden muß, um was für ein Viereck es sich speziell handelt. Die 5 Punkte liegen aber (sicher) in einer Ebene. Es ist wohl davon auszugehen, dass S senkrecht über M liegen soll.
Du bestimmst nun einen Normalenvektor dieser Ebene und verpaßt ihm die Länge 6. Den kannst Du auch gleich als Richtungsvektor der Geraden g verwenden.
Mit M als Aufpunkt der Geraden ist

Für die Spitze S der Pyramide gibt es dann zwei Möglichkeiten:
oder mit




Ich verschiebe in die Geometrie.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine nächtliche bzw. frühmorgentliche Rechnung ergibt aber, dass die Punkte NICHT in einer Ebene liegen.
Das tun schon nicht die 4 Punkte A, B, C und D

mY+
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich das vorsätzlich nicht überprüft, sondern vorausgesetzt habe, ist mein obiger Beitrag einstweilen obsolet bis zur Präzisierung der Aufgabenstellung.
Letti Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Habe ich jetzt auch bemerkt. Ich habe nochmal nachgeschaut, aber das sind die Punkte die gegeben waren, ich habe jetzt einfach mir mal A rausgesucht und die 1 durch - 1 ersetzt. Jetzt müsste es eigentlich passen. smile
Letti Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gerade und Koordinaten berechnen
Wie berechne ich denn den Normalenvektor? Wir hatten den bisher immer nur gegeben.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Letti
Jetzt müsste es eigentlich passen.

Das werde ich gelegentlich gesondert prüfen.
Einen Normalenvektor erhält man z. B. durch das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren zwischen einem Eckpunkt des Vierecks und seinen beiden Nachbarn, also etwa und .
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Letti
ich habe jetzt einfach mir mal A rausgesucht und die 1 durch - 1 ersetzt.

Also: So halbiert M tatsächlich die beiden Diagonalen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ad Normalvektor: Kürze die beiden Vektoren AB und AC zu (2|-2|-1) und (1|0|-1) und berechne die Determinante



mittels Auflösung nach den Elementen der 3. Spalte (d. s. die Einheitsvektoren).
Dieser (Normal-)Vektor hat die Länge 3, also sollte es dir nicht schwerfallen, von M aus in beide Richtungen 6 LE bis zu S abzutragen.

mY+
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

@mYthos:
Das ist nett gemeint.
Man weise mir Ort und Schultyp nach, wo solche Hilfsmittel aus der LA, zumal in dieser Schreibweise, im Rahmen der Analytischen Geometrie mitbehandelt werden, dann habe ich nichts zu mäkeln.
Zentralmatura würd ich eher ausschließen. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Geometrieforum werden auch Sachgebiete des Hochschulniveaus behandelt, das muss also hier nicht unbedingt nur in Schulmathematik sein.
Das Sachgebiet des Threads ist aus Analytischer Geometrie bzw. Algebra (hinsichtlich Determinanten), meine Antwort deckt ungefähr Hochschule 1. / 2. Semester für Lehramtskanditaten ab.

Die Zentralmatura ist in zahlreiche Schultypen unterteilt (AHS, BHS, BRP, HAK, HTL, ...).
Es stimmt freilich, dass in o.g. Schultypen diese Thematik - ausser bei AHS - kaum Prüfungsstoff ist.

Bei AHS- (ev. auch HTL-) Prüfungsaufgaben gehört die Berechnung des Normalvektors allerdings zum Standard. Wie man das Kreuzprodukt letztendlich ausführt, hängt vom jeweiligen Kenntnisstand ab.
Ich wollte eine elegante, kurze und effiziente Methode zeigen, die sicherlich (auch für andere Leser) interessant ist. Meist wird auch auf das Abkürzen der Basisvektoren vergessen ...

mY+
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