Stochastic sequence probability distribution

17.05.2019, 16:24	MatheNoob2019	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastic sequence probability distribution Meine Frage: Let $(X_n)n?1$ be a stochastic sequence of i.i.d. random variables, each Xn with values in the set {1, 4, 8, 16} and probability distribution: $P[X_n = 1] = 1/6, P[X_n = 4] = 1/4, P[X_n = 8] = 1/3, P[X_n = 16] = 1/4$. Compute $lim_{n??}(X_1 ·X_2 · · · X_n)^{\frac{1}{2}}$. [ Hint: Transform the expression whose limit is to be computed such that the ergodic theorem or the law of large numbers can be applied ] Meine Ideen: Ich habe leider absolut keine Ahnung wie/wo ich anfangen soll. Bitte um Hilfe!
18.05.2019, 09:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das WIRKLICH die Quadratwurzel $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left(X_1\cdot X_2\cdot \ldots \cdot X_n\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ ? Ich vermute, es ist eher die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Wurzel gemeint, d.h. $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left(X_1\cdot X_2\cdot \ldots \cdot X_n\right)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray}$ . Tipp: Betrachte den Logarithmus dieses Terms (der binäre Logarithmus bietet sich hier an), das ist $\begin{eqnarray} \log_2\left( \left(X_1\cdot X_2\cdot \ldots \cdot X_n\right)^{\frac{1}{n}}\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log_2\left(X_k\right) \end{eqnarray}$ . Und die Verteilung von $\begin{eqnarray} \log_2\left(X_k\right) \end{eqnarray}$ kannst du ja aus der von $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ bestimmen.
18.05.2019, 12:58	MatheNoob2019	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastic sequence probability distribution Ja da hast du absolut recht, es ist 1/n. Danke für die Tipps.
21.05.2019, 23:27	MatheNoob2019	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung Lösung sollte 2^(5/2) = 5,659 sein
22.05.2019, 09:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, denn als Grenzwert für $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log_2\left(X_k\right) \end{eqnarray}$ kommt gemäß GgZ (Gesetz der großen Zahlen) der Wert $\begin{eqnarray} m:=E\left[\log_2(X_k)\right] = \frac{1}{6}\log_2(1) + \frac{1}{4}\log_2(4) + \frac{1}{3}\log_2(8) + \frac{1}{4}\log_2(16) = 0 + \frac{2}{4} + \frac{3}{3} + \frac{4}{4} = \frac{5}{2} \end{eqnarray}$ heraus, und damit als Endergebnis dann $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} \left(X_1\cdot X_2\cdot \ldots \cdot X_n\right)^{\frac{1}{n}} = 2^{\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n \log_2\left(X_k\right)} = 2^m = 2^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray}$ .

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