Rechenregeln Landau-Notation

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenregeln Landau-Notation
Hallo liebe Matheboardgemeinschaft,

ich soll folgende Regeln der -Notation zeigen, aber ich tue mich damit sehr schwer.

[attach]49261[/attach]

Wir haben definiert: und schreiben für eine Funktion g.
Meine Ideen dazu:
zu a)
Seien
Dann gilt: sowie

Und damit:


Also ist der Ausdruck auf der rechten Seite gerade
zu b)



zu c)
Folgt doch direkt aus der Dreiecksungleichung verwirrt
.
Also könnte ich doch für die rechte Seite sogar die Konstante 1 wählen und hätte das zu Zeigende dort stehen?

ist das so korrekt? Mir fällt es so schwer mich da reinzudenken
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz bei der (a) zeigt , aber noch nicht die umgekehrte Richtung.

Dein Argument bei (b) sieht sehr knapp aus. Du musst deinen Schluss begründen. Das scheint mir aber auf direktem Weg einfacher zu sein, als den Umweg über die (a) zu nehmen.

Bei (c) hast du auch nur eine Richtung der Inklusion gezeigt.
 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenregeln Landau-Notation
Zitat:
Original von MaPalui
zu c)
Folgt doch direkt aus der Dreiecksungleichung verwirrt
.
Also könnte ich doch für die rechte Seite sogar die Konstante 1 wählen und hätte das zu Zeigende dort stehen?

Auch hier kürzt du sehr ab. Der Ansatz ist zunächst: Sei gegeben mit für großes . Beachte auch die Betragsstriche. Die hast du nur einmal richtig wiedergegeben, nämlich bei der Rekapitulation der Definition.

Bei den Aufgaben soll man die Gleichheit von Funktionenmengen zeigen: usw.

Edit: statt
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hach, ich hatte soetwas schon befürchtet traurig
Könntest du mir bei a) einen Denkanstoß liefern?
Ich wundere mich deshalb darüber, weil ich ja für die umgekehrte Richtung nun das umdrehen müsste. Aber das stimmt ja nicht verwirrt
Oder muss dort nur die Gleichheit betrachtet werden? Das reicht ja dann nicht, denke ich.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Die Idee ist, für geeignete zu schreiben. Es müssen aber auch die Fälle betrachtet werden, in denen ist. Fürs erste ist das der Ansatz. Ich muss jetzt gerade weg.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
Sei . Die Idee ist, für geeignete zu schreiben. Es müssen aber auch die Fälle betrachtet werden, in denen ist. Fürs erste ist das der Ansatz. Ich muss jetzt gerade weg.


Ok, dann danke ich dir schonmal! Ich sitze aktuell noch an einer anderen Aufgabe (die eventuell auch den Weg hierhin findet Augenzwinkern ) und schaue später bzw. morgen wieder dabei, da ich auch gleich weg bin.

Danke sehr und bis später smile
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b) kann man die folgende Überlegung machen.

Beachte zunächst

und wenn fest ist, dann


Da ist
,


Der Vergleich davon führt zu


Angenommen, die linke Seite gilt. Dann wähle auf der rechten Seite das selbe und . Damit ist schon einmal klar.

Angenommen, die rechte Seite gilt mit und . Dann muss sein. Demnach ist so zu wählen, dass diese Gleichung gilt. Für muss sein.

Zu zeigen ist also


Wegen muss der Quotient beschränkt sein, denn aus folgt

für . Demnach ist .

Eine beschränkte Funktion kann das Wachstum von nicht hinreichend vergrößern, dass aus herauskommt: Aus und folgt

für .

Zur Rekapitulation: Wenn , dann gilt

für , falls die Grenzwerte auf der rechten Seite existieren.

Wegen und existenten Grenzwerten durfte das in diesem Fall angewendet werden.
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