Zeige: (n!)^2 > n^n

18.05.2019, 15:59

MaPalui

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Zeige: (n!)^2 > n^n

Hallo liebe Leute,

ich habe die Aufgabe, zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (n!)^2 > n^n, \forall n\geq 3 \end{eqnarray*}$
Allerdings soll das ohne Induktion passieren. Unser Prof sagt, es gäbe einen kurzen, einfachen Beweis.
Leider habe ich ihn noch nicht entdeckt.
Mein Ansatz war:
$\begin{eqnarray*} (n!)^2 > \left(\left(\frac{n}{2}\right)!\cdot\left(\frac{n}{n}\right)^\frac{n}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ .
Aber schon das ist zu grob, jedenfalls meiner Nachrechnung mit Julia nach zu urteilen.

In welche Richtung kann ich denn mal noch denken? verwirrt

verwirrt

18.05.2019, 16:09

G190519

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RE: Zeige: (n!)^2 > n^n
Meine Idee:

Beide Seiten durch n! dividieren.

18.05.2019, 16:14

MaPalui

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Hey!

Das hatte ich eben schonmal: $\begin{eqnarray*} (n!)^2>n^n \Leftrightarrow n! > \frac{n^n}{n!}= \frac{n^{n-1}}{(n-1)!} \end{eqnarray*}$
aber hatte darin nichts gesehen. Schaue ich in die falsche Richtung?

18.05.2019, 16:26

G180519

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Die rechte Seite geht gegen 1 für n gg. unendlich.
Das sollte ausreichen, oder?

18.05.2019, 16:33

MaPalui

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Die rechte Seite divergiert.

18.05.2019, 16:41

G180519

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Sorry, das war der Grenzwert für n gg. Null.

Dennoch die linke Seite wächst stärker als die rechte.

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18.05.2019, 16:43

MaPalui

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Aber wie zeige ich das ?

18.05.2019, 17:04

IfindU

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Mein Vorschlag:
$\begin{eqnarray*} n! \cdot n! = (1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n) \cdot (n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1) = (1 \cdot n) \cdot ( 2 \cdot (n-1)) \ldots ( (n-1) \cdot 2) \cdot (n \cdot 1) = \prod_{k=1}^n [k (n-k + 1)] \end{eqnarray*}$ . Ich würde mal behaupten jeder Faktor ist mindestens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gross.

Edit: Kein Wunder, dass es mich an den Gauss-Trick erinnerte. Einmal den Logarithmus angewendet, liefert auf der linken Seite genau das!

18.05.2019, 20:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Ich würde mal behaupten jeder Faktor ist mindestens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gross.!

Sieht man übrigens sehr elementar über $\begin{eqnarray*} k(n-k+1) - n = (k-1)(n-k)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ .

19.05.2019, 19:30

MaPalui

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Ich danke euch sehr, das sind tolle Ideen die ich sofort verstanden und mir aufgeschrieben habe! Das kommt in meine Trickkiste und die Teilaufgabe ist gelöst smile

smile

Nun gibt es noch etwas zu zeigen, nämlich: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n!)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Da habe ich bisher keine vernünftige Abschätzung gefunden, aber mit euren Tricks setze ich mich jetzt nochmal daran.
Ich wäre euch aber dankbar, wenn ihr mir da eventuell nochmal auf die Sprünge helfen könntet.
Aber rechnen werde ich jetzt Augenzwinkern

Augenzwinkern

LG
Maren

19.05.2019, 19:46

MaPalui

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Also ich merke dass ich mich leider schon "festgedacht" habe.
Ich weiß zwar, dass der Nenner schneller wächst, aber nun müsste ich doch im Nenner zumindest mal einen Faktor "mehr" herausziehen können als oben.
Aber das gelingt mir nicht.
verwirrt

verwirrt

Oder ist der Ansatz nicht richtig?

19.05.2019, 19:59

IfindU

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Als Idee: Wenn du dir den mittleren Faktor in der Produktdarstellung von $\begin{eqnarray*} n!\cdot n! \end{eqnarray*}$ von eben anschaust, so ist dieser "in etwa" $\begin{eqnarray*} \frac n 2 \cdot \frac n 2 = \frac {n^2} 4 \end{eqnarray*}$ . Damit bekommt man dann $\begin{eqnarray*} n!^2 \geq n \cdot \frac { n^n} 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gross genug. Die Details seien dem geneigten Leser überlassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2019, 20:00

Mathema

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Hallo Maren,

hast du es mal mit dem Quotientenkriterium versucht?

19.05.2019, 20:12

MaPalui

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Zitat:

Original von Mathema
Hallo Maren,

hast du es mal mit dem Quotientenkriterium versucht?

Jetzt ja und hatte sofort die Lösung Hammer

Hammer

Vielen Dank! smile

smile

@IfindU: An deinen Ansatz werde ich mich aber trotzdem begeben smile

smile

Danke auch dir bisher für den Hinweis!

19.05.2019, 20:28

MaPalui

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Zitat:

Original von IfindU
Als Idee: Wenn du dir den mittleren Faktor in der Produktdarstellung von $\begin{eqnarray*} n!\cdot n! \end{eqnarray*}$ von eben anschaust, so ist dieser "in etwa" $\begin{eqnarray*} \frac n 2 \cdot \frac n 2 = \frac {n^2} 4 \end{eqnarray*}$ . Damit bekommt man dann $\begin{eqnarray*} n!^2 \geq n \cdot \frac { n^n} 4 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gross genug. Die Details seien dem geneigten Leser überlassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab es raus, danke sehr! smile

smile

20.05.2019, 10:08

Matt Eagle

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Relativ elementar folgt das Ganze mit folgender Überlegung.

Sei $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n. \end{eqnarray*}$

Offenbar gilt dann auch:

$\begin{eqnarray*} (k-1)(n-k)\geq 0. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k(n+1-k)\geq n. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (n!)^2=\prod_{k=1}^n k(n+1-k)\geq n^n. \end{eqnarray*}$

Und die strenge Ungleichung folgt damit auch, wenn man die Fälle k=1 und k=n kurz separat betrachtet...

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