Zeige: (n!)^2 > n^n

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MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige: (n!)^2 > n^n
Hallo liebe Leute,

ich habe die Aufgabe, zu zeigen:
Allerdings soll das ohne Induktion passieren. Unser Prof sagt, es gäbe einen kurzen, einfachen Beweis.
Leider habe ich ihn noch nicht entdeckt.
Mein Ansatz war:
.
Aber schon das ist zu grob, jedenfalls meiner Nachrechnung mit Julia nach zu urteilen.

In welche Richtung kann ich denn mal noch denken? verwirrt
G190519 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeige: (n!)^2 > n^n
Meine Idee:

Beide Seiten durch n! dividieren.
 
 
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Hey!

Das hatte ich eben schonmal:
aber hatte darin nichts gesehen. Schaue ich in die falsche Richtung?
G180519 Auf diesen Beitrag antworten »

Die rechte Seite geht gegen 1 für n gg. unendlich.
Das sollte ausreichen, oder?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Die rechte Seite divergiert.
G180519 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das war der Grenzwert für n gg. Null.

Dennoch die linke Seite wächst stärker als die rechte.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie zeige ich das ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Vorschlag:
. Ich würde mal behaupten jeder Faktor ist mindestens gross.

Edit: Kein Wunder, dass es mich an den Gauss-Trick erinnerte. Einmal den Logarithmus angewendet, liefert auf der linken Seite genau das!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Ich würde mal behaupten jeder Faktor ist mindestens gross.!

Sieht man übrigens sehr elementar über für alle .
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch sehr, das sind tolle Ideen die ich sofort verstanden und mir aufgeschrieben habe! Das kommt in meine Trickkiste und die Teilaufgabe ist gelöst smile

Nun gibt es noch etwas zu zeigen, nämlich:

Da habe ich bisher keine vernünftige Abschätzung gefunden, aber mit euren Tricks setze ich mich jetzt nochmal daran.
Ich wäre euch aber dankbar, wenn ihr mir da eventuell nochmal auf die Sprünge helfen könntet.
Aber rechnen werde ich jetzt Augenzwinkern

LG
Maren
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich merke dass ich mich leider schon "festgedacht" habe.
Ich weiß zwar, dass der Nenner schneller wächst, aber nun müsste ich doch im Nenner zumindest mal einen Faktor "mehr" herausziehen können als oben.
Aber das gelingt mir nicht.
verwirrt Oder ist der Ansatz nicht richtig?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Als Idee: Wenn du dir den mittleren Faktor in der Produktdarstellung von von eben anschaust, so ist dieser "in etwa" . Damit bekommt man dann für gross genug. Die Details seien dem geneigten Leser überlassen Augenzwinkern
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Maren,

hast du es mal mit dem Quotientenkriterium versucht?
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Hallo Maren,

hast du es mal mit dem Quotientenkriterium versucht?


Jetzt ja und hatte sofort die Lösung Hammer
Vielen Dank! smile

@IfindU: An deinen Ansatz werde ich mich aber trotzdem begeben smile Danke auch dir bisher für den Hinweis!
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Als Idee: Wenn du dir den mittleren Faktor in der Produktdarstellung von von eben anschaust, so ist dieser "in etwa" . Damit bekommt man dann für gross genug. Die Details seien dem geneigten Leser überlassen Augenzwinkern


Hab es raus, danke sehr! smile
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Relativ elementar folgt das Ganze mit folgender Überlegung.

Sei

Offenbar gilt dann auch:








Und die strenge Ungleichung folgt damit auch, wenn man die Fälle k=1 und k=n kurz separat betrachtet...
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