Symmetrische Irrfahrt

19.05.2019, 09:37

wtheoretiker95

Symmetrische Irrfahrt

Meine Frage:
Im Abstand a von einer Geraden befinde sich eine Glühbirne, die gleichmäßig in alle Rich-tungen strahlt, die die Gerade irgendwann treffen. X bezeichne den Auftreffpunkt eines Lichtstrahls auf der Geraden. Der Punkt auf der Geraden, der der Glühbirne am nächsten liegt, sei mit x = 0 bezeichnet. Zeigen Sie, dass die Verteilung von X absolutstetig ist mit Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} p_X(x) =a\pi(a^2+x^2), x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .Ein solches X heißt Cauchy-verteilt zum Paramter $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .
Seien nun $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhänige und gleichverteilte Kopien von X. Zeigen Sie, dass dann $\begin{eqnarray*} P(\lim_{n\to\infty} (\frac{X_1+...+X_n}{n} \end{eqnarray*}$ exisitiert und ist endlich) = 0, wobei P das Wahrscheinlichkeitsmaß bezeichne.

Meine Ideen:
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich bereits gelöst, indem ich den Strahlungswinkel als Zufallsgröße betrachtet und den tan benutzt habe. Beim zweiten Teil habe ich jedoch keinen wirklichen Ansatz. Ich habe mir bereits überlegt, dass der Erwartungswert bei einer Cauchy Verteilung nicht existiert, sehe jedoch nicht, ob die Summe der $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ irgendwas damit zutun haben könnte. Hat jemand eine Idee?

Edit(Helferlein):Latex korrigiert.

19.05.2019, 13:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von wtheoretiker95
Zeigen Sie, dass die Verteilung von X absolutstetig ist mit Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} p_X(x) =a\pi(a^2+x^2), x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .Ein solches X heißt Cauchy-verteilt zum Paramter $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

Schlimmer Copy+Paste-Unfall: Es sollte wohl besser $\begin{eqnarray*} p_X(x) = \frac{a\pi}{a^2+x^2} \end{eqnarray*}$ heißen. unglücklich

Zum Beweis: Über die charakteristische Funktion kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{X_1+\ldots+X_n}{n} \end{eqnarray*}$ dieselbe Cauchy-Verteilung besitzt wie die einzelnen $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ . Also nix von "Zusammenziehen auf einen Wert", wie es das GgZ (Gesetz der großen Zahlen) beschreibt. Und ja, dass das GgZ hier nicht gilt, liegt natürlich auch mit an der Nichtexistenz des Erwartungswerts dieser Cauchyverteilung.

19.05.2019, 13:58

Dopap

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RE: Symmetrische Irrfahrt

Zitat:

Original von wtheoretiker95
[...] Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} p_X(x) =a\pi(a^2+x^2), x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .Ein solches X heißt Cauchy-verteilt zum Paramter $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist halt nie und nimmer eine Dichte. Wenn dann schon etwas vom Typ $\begin{eqnarray*} f_X(x):=\frac {a}{\pi(x-t)^2} \end{eqnarray*}$ mit dem Lageparameter $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$

... Ich sehe, dass du schon kompetente Antwort erhälst.

20.05.2019, 23:31

Dopap

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Was hat denn diese Straßenbeleuchtung mit dem einer symmetrischen Irrfahrt im Titel zu zu tun. verwirrt

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Symmetrische Irrfahrt

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