Erwartungswert E[1/X]

19.05.2019, 12:52

Mathixx

Erwartungswert E[1/X]

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich muss für die Abgabe der nächsten Woche den Erwartungswert E[1/X] einer mit dem Parameter p geometrisch verteilten Zufallsvariable X berechnen, d.h. $\begin{eqnarray*} P[X=k] = p*(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N (={1,2,...}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Meine erste Herangehensweise war, die Formel für den Erwartungswert, den wir für die diskreten Zufallsvariablen definiert haben zu verwenden:
$\begin{eqnarray*} E[X]=\sum\limits_{k=1}^{n} k *P[X=k] \end{eqnarray*}$
Meine erste Idee war nun,
statt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} k (1-p)^{k-1} p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 1/(k (1-p)^{k-1} p \end{eqnarray*}$ .
Allerdings erscheint mir die Lösung komisch, weil die Formel für den Erwartungswert ja evtl. nicht so funktioniert wie eine Formel f(x), in die man nun einfach x nun durch 1/x einsetzt.
Ich würde mich über Tipps zur Lösung freuen bzw. über eine Info ob mein Ansatz richtig oder nicht richtig ist.
Was mir vielleicht auch helfen könnte, ist eine Vorstellung, was mir E[1/X] überhaupt angibt...
Danke schonmal für jegliche Hilfe :-)

Latex korrigiert.
klauss

19.05.2019, 13:01

HAL 9000

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Für diskrete Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} E\left[g(X)\right] = \sum_k^{\infty} g(k) P(X=k) \end{eqnarray*}$ (dabei läuft die Summe natürlich über diejenigen Werte $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ annehmen kann), das gilt speziell auch für die Kehrwertfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . D.h., es ist dann

$\begin{eqnarray*} E\left[\frac{1}{X}\right] = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Hinsichtlich Vereinfachung dieses Terms empfehle ich einen Blick auf die Logarithmusreihe $\begin{eqnarray*} \ln(1-x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} \end{eqnarray*}$ .

19.05.2019, 14:07

Mathixx

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Hallo HAL,

danke schonmal für deine erste Antwort :-)

Seh ich das richtig, dass bei der Formel sich nur der Part g(k) ändert - hier im Speziellen von k zu 1/k ?

P(X=k) bleibt weiter so bestehen als $\begin{eqnarray*} p (1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$
Oder ist P(X=k) in dem Fall auch P(X=1/k) ?

Wahrscheinlich letzteres oder? Wenn X mit der Wahrscheinlichkeit P(X=k) = $\begin{eqnarray*} p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ den Wert k annimmt, dann nimmt 1/X mit derselben Wahrscheinlichkeit auch den Wert 1/k an, richtig?

Liebe Grüße

19.05.2019, 14:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathixx
Oder ist P(X=k) in dem Fall auch P(X=1/k) ?

Das ist natürlich falsch.

Zitat:

Original von Mathixx
Wahrscheinlich letzteres oder? Wenn X mit der Wahrscheinlichkeit P(X=k) = $\begin{eqnarray*} p(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ den Wert k annimmt, dann nimmt 1/X mit derselben Wahrscheinlichkeit auch den Wert 1/k an, richtig?

Das wiederum ist richtig. Du kannst das Ereignis nach Bedarf äquivalent umformen, d.h. aus $\begin{eqnarray*} X=k \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{X}=\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ machen. Das Interessante an obiger Erwartungswertformel ist jedoch, dass sie durchaus auch für nichtinjektive $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gilt.

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