Nachweis: Funktion erfüllt Gleichung

19.05.2019, 15:56	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis: Funktion erfüllt Gleichung Guten Tag, ich habe keinen wirklichen Ansatz wie ich diese Aufgabe lösen soll und wäre sehr dankbar für einen Schubs in die richtige Richtung. Aufgabe: Zeigen Sie durch Nachrechnen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} \ u:~\mathbb{R}^2~\backslash \left(0,0\right)\rightarrow\mathbb{R}~mit~u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} \Delta u=0 \end{eqnarray}$ erfüllt. Lösungsansatz: Geht es hier darum die Extrema dieser Funktion zu bestimmen? Also müsste ich dann die Lagrange-Funktion zu dieser Funktion aufstellen, den Gradienten der Lagrange-Funktion bestimmen und Null setzten, etc? Oder bin ich damit auf dem komplett falschen Ansatz? Vielen Dank. Mit freundlichen Grüßen SM!LE
19.05.2019, 16:08	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nachweis: Funktion erfüllt Gleichung Mach genau das, was in der Aufgabe steht. Rechne $\begin{eqnarray} \Delta u \end{eqnarray}$ aus. Du kennst doch die Definition von $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ !?
19.05.2019, 17:02	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah stimmt, dass war ja der Laplace-Operator. Sorry Danke dir für die schnelle Hilfe.
19.05.2019, 19:12	SM!LE	Auf diesen Beitrag antworten »
@Huggy Ich hätte als Lösung folgendes: $\begin{eqnarray} \Delta u=\triangledown^2\cdot u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=\frac{2x\cdot\left(x^2-3y^2+3y^2-x^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^3}=0 \end{eqnarray}$ Wäre das so korrekt ?
19.05.2019, 19:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. $\begin{align} u \end{align}$ ist übrigens der Realteil der holomorphen Funktion $\begin{align} w = \frac{1}{z} \end{align}$ .

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