Ungleichungen lösen jedes mal anders?

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ruckus98 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen lösen jedes mal anders?
Meine Frage:
Hallo!
Ich sitze gerade an einer (eigentlich einfachen) Wiederholungsaufgabe zum Lösen von Ungleichungen. Soweit ich weiß, soll man bei Ungleichungen genau wie bei Gleichungen vorgehen, dass habe ich auch in meinem Ansatz gemacht und komme auch zu einer eindeutigen Lösung, die allerdings nicht stimmt (was man durch ausprobieren oder auf die Lösung gucken leicht herausfinden kann).
Warum kann ich bei dieser Aufgabe nicht wie beim Lösen einer anderen beliebigen Ungleichung (siehe 2. Beispiel) vorgehen? Und wie muss ich hier Vorgehen um auf die korrekte Lösung zu kommen (0 < x < 1)?

Meine Ideen:
(2x-1)/(x-1) < 1 | *(x-1)
2x-1 < x-1 | + 1 | -x
x < 0

=> Ergebnis: x < 0 stimmt aber nicht

2. Beispiel:
x-1 < 1 | + 1
x < 2
=> Gleiche Vorgehensweise wie oben, diesmal stimmt das Ergebnis
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im ersten Schritt multiplizierst du mit und lässt das Relationszeichen < der Ungleichung bestehen - das stimmt aber nur bei der Multiplikation mit einer positiven (!) Zahl! Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich hingegen das Relationszeichen um.

Du weißt aber nicht von vornherein, ob positiv oder negativ ist - ergo: Hier ist eine Fallunterscheidung nötig.

Der "Vergleich" zum zweiten Beispiel hinkt stark, da dort ja nur Additions-/Subtraktionsumformungen nötig waren, und bei denen passiert nichts mit dem Relationszeichen.


1.Fall:

Das ist gleichbedeutend mit . D.h., was immer du in diesem Fall durch weiteres Umformen herausbekommst, es ist nur unter der Einschränkung richtig. Kommen wir nun zu diesen Umformungen:





ist unvereinbar mit der Fallbedingung , das bedeutet: Keine Lösungen in diesem Fall!


2.Fall:

Das bedeutet , die Umformungen sind dieselben wie im ersten Fall, nur dass am Ende überall > statt < steht:





Dieses Ergebnis in Verbindung mit Fallbedingung bedeutet insgesamt . Und das ist dann auch die Gesamtlösung der Ungleichung, da ja nix vom 1.Fall hinzukommt.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Alternativlösung: Alles auf einen Bruchstrich bringen, so dass auf der rechten Seite 0 steht.







Ein Quotient ist genau dann negativ, wenn Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen haben.

D.h, es gilt entweder und (was unmöglich ist, entspricht dem 1.Fall oben), oder aber und , was zur erwähnten Lösung führt.

Bei Ungleichungen mit derartigen rationalen Termen ist das oft die bessere (weil etwas kürzere) Alternative - Grund: Immer wieder gleiche Umformungen in den Teilfällen werden vermieden, weil man sie gleich zu Beginn nur einmal tun muss.
 
 
ruckus98 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Du weißt aber nicht von vornherein, ob positiv oder negativ ist - ergo: Hier ist eine Fallunterscheidung nötig.



Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, das hätte garnicht sein müssen!
Dieser eine Satz hat mir meinen Fehler perfekt erklärt, ich dachte erst da der Term (x+1) ja positiv ist, müsste ich nichts besonderes beachten, ich habe ganz vergessen, dass x ja variabel ist! Danke
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