Abstand zur Einheitssphäre

20.05.2019, 20:17	Marwell	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand zur Einheitssphäre Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} (X,\vert\vert.\vert\vert) \end{eqnarray}$ ein normierter Raum über $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S = {x \in X \| \vert\vertx\vert\vert = 1} , u \in X \end{eqnarray}$ . Die Menge S soll die Einheitssphäre sein, also die Menge deren Elemente x mit der vorherigen Norm \|\|x\|\|=1 ergeben Bstimmen Sie $\begin{eqnarray} d(u,S) \end{eqnarray}$ , wobei für eine allgemeine nichtleere Teilmenge M von X gilt: $\begin{eqnarray} d(x,M) = inf_{y \in M}\vert\vert x-y \vert\vert \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} d(u,S)= inf_{y \in S}\vert\vert u-y \vert\vert \ge \vert\vert u \vert\vert - inf_{y \in S}\vert\vert y \vert\vert = \vert\vert u \vert\vert - 1 \end{eqnarray}$ Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
20.05.2019, 21:32	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand zur Einheitssphäre Guter Anfang! Schaut man sich deine Abschätzung an, dann kann die rechte Seite negativ werden, die linke aber nicht. Du hast da schon etwas verschenkt, es gilt sogar die stärkere Ungleichung $\begin{eqnarray} d(u,S)\geq \|1-\\|u\\|\,\| \end{eqnarray}$ (warum?). Jetzt hilft einem eine Skizze, ein passendes $\begin{eqnarray} y\in S \end{eqnarray}$ zu finden, für das Gleichheit eintritt und damit ist dann auch $\begin{eqnarray} d(u,S)\leq \|1-\\|u\\|\,\| \end{eqnarray}$

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