Integral berechnen

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Mxwll Auf diesen Beitrag antworten »
Integral berechnen
ich soll zeigen, dass sich folgendes Integral



mit x>0

sich so darstellen lässt:


pi / 2 * ln(1+x)

Wie gehe ich da vor?
Komme gar nicht weiter?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst zur Konvergenz des Integrals. Mit der Potenzreihe des Arcustangens erkennt man, daß der kritische Faktor im Nenner weggekürzt werden kann. Der Integrand ist daher bei stetig ergänzbar und die untere Integralgrenze somit unproblematisch. Was die obere Grenze anbelangt, nutzt man die Beschränktheit des Arcustangens und kann eine von unabhängige Majorante angeben. Im Nenner hat man ja ein Polynom vom Grad 3 in . Damit konvergiert das Integral gleichmäßig und



ist eine für alle stetige Funktion. Offenbar gilt



Es genügt daher, zu betrachten und die Funktion später mittels der Funktionalgleichung für stetig fortzusetzen.

Durch Differentiation unter dem Integral nach findet man, zunächst formal:



Wenn man den zweiten Faktor im Nenner nach unten durch 1 abschätzt, erhält man eine von unabhängige Majorante. Auch dieses Integral konvergiert also gleichmäßig, womit die obige Gleichung für auch inhaltlich gültig ist. Jetzt mußt du nur noch dieses Integral berechnen. Behandle zunächst den Fall . Für alle anderen kann man das Integral mittels einer Partialbruchzerlegung berechnen und erhält schließlich



Wegen der Geradheit von kann man das für fortsetzen:



Und dann von auf zurückschließen.
 
 
Mxwll Auf diesen Beitrag antworten »

Das werde ich mal machen.
Danke erstmal....
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Behandle zunächst den Fall .

Kann man sich in Hinblick auf die Gesamtaufgabe im Grunde genommen sparen. Aber als Integrationsübung ein nettes kleines Intermezzo. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Residuensatz kennst, kann man das Integral auch damit berechnen. Die Funktion



der komplexen Variablen mit reellem Parameter hat in der oberen Halbebene Pole bei mit Residuum und bei mit Residuum . Es folgt mit einer bekannten Anwendung des Residuensatzes für rationale Funktionen:



@ HAL
Die Partialbruchzerlegung führt für auf Singularitäten. Die sind dann zwar hebbar. Um sich aber den Ärger von vorneherein zu ersparen, hielt ich es für sinnvoll, diesen Fall gesondert zu betrachten.
Gut, man kann natürlich auch mit der Stetigkeit argumentieren und sagen: auf die eine isolierte Stelle kommt es nicht an.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte es so: Zum einen spielt ein einzelner Wert keine Rolle bei der Bestimmung von als Integralfunktion über . Zum anderen kann man über die Monotonie den Wert auch über die Betrachtungen und einschachteln.
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