Das Maß der disjunkten Vereinigung von Intervallen

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KoenigVonAugsburg Auf diesen Beitrag antworten »
Das Maß der disjunkten Vereinigung von Intervallen
Hallo,

ich habe ein Problem mit dem Verständnis der folgenden Aufgabe:

Außgehend von werde definiert und man setzt
a) Das Maß der disjunkten Vereinigung von Intervallen ist die Summe der Länge der Intervalle. Geben Sie einen Term für das Maß von an und zeigen Sie:

b) Geben Sie(mit Begründung drei Zahlen an, die in liegen. Bestimmen Sie ,
Ergänzung: Die Menge überabzählbar

Zum einen muss ich dazu sagen, dass ich Analysis 1 besuche und das Maß eigendlich erste Thema von Analysis 3 ist.

In der Angabe steht: "Das Maß der disjunkten Vereinigung von Intervallen ist die Summe der Länge der Intervalle." Da die Menge immer ,,gezweidrittelt" wird, dachte ich mir, dass die Summe der Länge der Intervalle so aussehen müsste: usw. also im Endeffekt die geometrische Summe mit .
B

Das sah dann bei mir so aus:

Um mein zu finden, habe ich dann nur gesagt und nach n aufgelöst um mein zu finden. Dann kam natürlich ein Logarithmus raus, welchen wir noch nicht eingeführt haben, somit war wohl mein ganzer Ansatz falsch.

Heute hat mein Tutor gesagt, das mit ,,Maß" nicht die Summe aller Intervalle gemeint ist sondern die länge von einem bestimmte , und mir gesagt ich muss irgendwie so ansetzen: .

Kann mir jemand bei diesem wohl Verständnisproblem helfen?

Danke!
KoenigVonAugsburg Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es nun gelöst. Mein Problem war, dass ich dachte ich muss die längen aller Intervalle addieren, aber eigendlich muss ich ja die Summe aller Teilintervalle eines Intervalls addieren. Das macht das ganze natürlich viel einfacher.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ausdrucksweise ist ein wenig chaotisch. Ja, als (Lebesgue-)Maß der Menge ist die Summe der Länge der Intervalle, aus denen besteht. Wenn man sich Konstruktionsprinzip



so ansieht, dann ergibt sich , die "Verschiebung" um im zweiten Mengenterm ist nur insofern wichtig, dass sich dadurch keine Überlappung zum ersten Mengenterm ergibt: Denn die Längenaddition ist natürlich nur dann statthaft als Maßberechnung, wenn es keine solchen Überlappungen gibt!


Das führt explizit zu .
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