Runge-Kutta

21.05.2019, 17:16

Der_Schweizer

Runge-Kutta

Guten Tag,
ich möchte das Runge-Kutta Verfahren per Hand nachrechnen. Dazu habe ich mir volgende DGL überlegt $\begin{eqnarray*} y' = e^{-x} \end{eqnarray*}$ . Die exakte Lösung der DGL ist $\begin{eqnarray*} y = -e^{-x} \end{eqnarray*}$ .
Die Schrittweite h beträgt 0.5 und der Startwert (0|1).

Ich weiß nicht wie ich weitermachen soll, in einem Video was ich auf Youtube gefundenhabe werden yo und xo in die Gleichung eingesetzt. Ich habe jedoch nur ein x, kann ich diese DGL überhaupt numerisch Lösen ?

MfG
Schweizer

21.05.2019, 17:31

HAL 9000

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Es geht um DGL vom Typ $\begin{eqnarray*} y'=f(x,y) \end{eqnarray*}$ mit gegebener Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Bei dir nun ist $\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{-x} \end{eqnarray*}$ nicht von der zweiten Variable $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängig - na und? Du kannst doch trotzdem das Verfahren durchziehen, es besteht keine Forderung, dass der Wert $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ wirklich von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängen muss. Tatsächlich vereinfacht das die Berechnungen drastisch.

22.05.2019, 18:10

Der Schweizer

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Danke für deine schnelle Antwort Hall9000,

Ich habe gestern einen Fehler gemacht, die Gleichung soll $\begin{eqnarray*} y' = -y \end{eqnarray*}$ lauten.
Die allgeimeine Lösung wäre dann $\begin{eqnarray*} y = e^{-x} \end{eqnarray*}$

Kann ich das Verfahren auch für diese DGL $\begin{eqnarray*} y' = -y \end{eqnarray*}$ , da ich die Funktion ja eigenltich nicht kenne.

Gruß

22.05.2019, 19:35

HAL 9000

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Ja klar, geht auch. Nur dass ich meinen Kommentar von oben dann abändern muss in

Zitat:

Bei dir nun ist $\begin{eqnarray*} f(x,y)=-y \end{eqnarray*}$ nicht von der ersten Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängig - na und? Du kannst doch trotzdem das Verfahren durchziehen, es besteht keine Forderung, dass der Wert $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ wirklich von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen muss. Tatsächlich vereinfacht das die Berechnungen etwas.

05.02.2020, 08:40

TottoLotto

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Mittelpunktverfahren
Hallo und guten Morgen zusammen smile

ich bin gerade dabei eine Aufgabe mit dem Mittelpunktverfahren zu lösen (oder auch nicht Big Laugh

).

In meiner Literatur habe ich folgendes Beispiel gefunden(siehe Anhang).

Leider komme ich nicht dahinter wie man auf die gelb markierten 1/8 kommt??

05.02.2020, 09:00

HAL 9000

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Schlicht einsetzen und dabei ordentlich arbeiten (z.B. keine notwendigen Klammern vergessen):

Zunächst mal $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , und dann die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -Defintion angewandt auf deine konkreten Argumente

$\begin{eqnarray*} y_{i+1} = y_i + \frac{1}{2}\cdot f\left( x_i + \frac{1}{4}, y_i + \frac{1}{4}\cdot f(x_i,y_i) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{i+1} = y_i + \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{x_i + \frac{1}{4}}{2} - \left(y_i + \frac{1}{4}\cdot f(x_i,y_i) \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{i+1} = y_i + \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{x_i}{2} + \frac{1}{8} - \left(y_i + \frac{1}{4}\cdot \left(\frac{x_i}{2}-y_i\right) \right) \right) \end{eqnarray*}$ .

05.02.2020, 15:16

TottoLotto

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Danke für die schnelle Antwort!!

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann muss ich xi +h/2 nochmal durch 2 teilen weil in meiner Funktion y'(x) x/2 vorkommt??

Wenn meine Funktion also y'(x)=x/3-y wäre
hätte ich anstatt xi/2 +1/8 , xi/3+1/12 richtig?

08.02.2020, 10:14

TottoLotto

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Hier nochmal mein letzter Post nur mit etwas mehr Mühe diesmal in schön, hoffentlich bekomme ich dafür noch einmal eure Hilfe :P

08.02.2020, 20:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von TottoLotto
Wenn meine Funktion also y'(x)=x/3-y wäre
hätte ich anstatt xi/2 +1/8 , xi/3+1/12 richtig?

Ja.

Ich hatte angenommen, das Thema ist lange durch. Deshalb nochmal der Appell:

Zitat:

Original von HAL 9000
Schlicht einsetzen und dabei ordentlich arbeiten (z.B. keine notwendigen Klammern vergessen)

Mehr ist es nicht, es sind also keine extravaganten Zusatzregeln zu beachten/merken usw.

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