Limes log^log

21.05.2019, 20:51

blabliblubbbb

Limes log^log

Meine Frage:
Ich soll folgenden limes berechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1+} log(x)^{log(x)} \end{eqnarray*}$
Ich weiß, dass das Ergebnis 1 sein muss, komm aber nicht drauf.

Meine Ideen:
Ich dachte ich bilde die Taylorreihe und lasse dann den limes drüber laufen.
Ein online Rechner spuckt mir für die ersten Terme
$\begin{eqnarray*} 1+(+log(x-1))*(x-1)+\frac{1}{2}*( log(x-1)^2-log(x-1)-1)*(x-1)^2 \end{eqnarray*}$ aus. Das ist ja einfach zu lösen, wenn x gegen 1 geht, verschwinden alle folgenden Terme.
Jetzt versteh ich aber nicht wie ich auf diese Reihe komme.
Wenn ich die Funktion ableite krieg ich was ganz anderes raus:
$\begin{eqnarray*} log(x)^{log(x)}* \frac{log(log(x))+1}{x} \end{eqnarray*}$
Jetzt müsst ich ja eigentlich für x=1 einsetzen für den ersten Ableitungsterm und *(x-1) rechnen aber wieso spuckt mir der Rechner so ein anderes Ergebnis aus?

21.05.2019, 21:40

HAL 9000

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Angesichts des Terms drängt sich als erster Schritt doch die Substitution $\begin{eqnarray*} t=\log(x) \end{eqnarray*}$ auf, dann entspricht $\begin{eqnarray*} x\to 1+ \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} t\to 0+ \end{eqnarray*}$ , und es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1+} (\log(x))^{\log(x)} = \lim_{t\to 0+} t^t \end{eqnarray*}$ .

Und letztzeres kann man etwa über

$\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0+} t^t = \lim_{t\to 0+} \exp(t\ln(t)) \stackrel{!}{=} \exp(\lim_{t\to 0+} t\ln(t)) = \exp(0) = 1 \end{eqnarray*}$

berechnen.

21.05.2019, 23:04

blabliblubbbb

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Wieso kann ich bei dem Schritt mit dem ! dem limes einfach in die Potenz hochziehen?
Und danke schonmal!!

21.05.2019, 23:09

HAL 9000

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Weil die Exponentialfunktion stetig ist, speziell auch an der Stelle 0 (nur das brauchen wir hier). Selbstverständlich geht der Schritt auch nur, wenn der Grenzwert innen (also $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to 0+} t\ln(t) \end{eqnarray*}$ ) existiert, was sich aber im Nachhinein tatsächlich herausstellt.

21.05.2019, 23:16

blabliblubbbb

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Gibts dazu irgendeine allgemeine Formulierung für verkettete Funktionen? Ich kenn nur Grenzwertregeln für Punkt- und Strichrechnung

21.05.2019, 23:18

HAL 9000

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Ja: Die Definition einer stetigen Funktion.

21.05.2019, 23:36

blabliblubbbb

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Müsste ich streng genommen erst den limes von der inneren Funktion berechnen, einsetzen und dann von der äußeren?
Also ich hab $\begin{eqnarray*} f=exp(y) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} g=t*ln(t) \end{eqnarray*}$ .
Dann rechne ich erst den limes von g für t gegen 0 aus, und dann den limes für f?
Ist das verständlich was ich meine?

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0+} exp(t*ln(t))= \lim_{t \to 0+} exp(\lim_{t \to 0+} t*ln(t)) \end{eqnarray*}$ ?

Und dann schrittweise

= $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0+} exp(0)=exp(0)=1 \end{eqnarray*}$

22.05.2019, 06:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von blabliblubbbb
Ist das verständlich was ich meine?

Nein, denn bei

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0+} \exp(\lim_{t \to 0+} t*\ln(t)) \end{eqnarray*}$

ist der vordere Grenzwert überflüssiges Beiwerk, da $\begin{eqnarray*} \exp(\lim_{t \to 0+} t*\ln(t)) \end{eqnarray*}$ bereits eine Konstante ist.

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