DGL: y' = y mit Anfangswertproblem

22.05.2019, 08:58

Yess

DGL: y' = y mit Anfangswertproblem

Hallo,
ich stehe total auf dem Schlauch und komme nicht auf die richtige Lösung.
Ich habe folgende DGL: $\begin{eqnarray*} y' = y \end{eqnarray*}$
Die Anfangsbedingung soll sein y(0) = 1.

Meine erste allgemeine Frage ist, kann ich $\begin{eqnarray*} y' = y \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} f(x)' = f(x) \end{eqnarray*}$ oder als $\begin{eqnarray*} y'(x) = y(x) \end{eqnarray*}$ schreiben ?

Das ist die Zeichnung des Richtungsfeldes:
[attach]49270[/attach]
Bild aus externem Link geholt und als Anhang eingefügt. Bitte keine externen Links verwenden. Steffen

Die Lösung der DGL ist $\begin{eqnarray*} y = e^{x} \end{eqnarray*}$ nur wie komme ich darauf ?
Kann mir das nochmal jemand erklären ?

MfG Yess

22.05.2019, 09:36

Huggy

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RE: DGL: y' = y mit Anfangswertproblem

Zitat:

Original von Yess
Meine erste allgemeine Frage ist, kann ich $\begin{eqnarray*} y' = y \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} f(x)' = f(x) \end{eqnarray*}$ oder als $\begin{eqnarray*} y'(x) = y(x) \end{eqnarray*}$ schreiben ?

Das kannst du machen. Aber gewöhne dich an die Kurzschreibweise. In ihr ist der Umgang mit Differentialgleichungen wesentlich übersichtlicher.

Zitat:

Die Lösung der DGL ist $\begin{eqnarray*} y = e^{x} \end{eqnarray*}$ nur wie komme ich darauf ?

Eigentlich kennt man noch von der Schule die Funktion, deren Ableitung gleich der Funktion ist. Der systematische Weg ist die sogenannte Trennung der Variablen. Dazu schreibt man die DGL um in:

$\begin{eqnarray*} \frac {y'} y =1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man auf beiden Seiten integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int \frac {y'} y dx = \int 1 dx \end{eqnarray*}$

Auf der echten Seite ergibt sich aus der Substitutionsregel

$\begin{eqnarray*} \int \frac {y'} y dx =\int \frac 1 y \frac {dy}{dx} dx = \int \frac {dy}{y} \end{eqnarray*}$

22.05.2019, 10:10

Yess

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Danke Huggz für die schnelle Antwort.
Ok durch Trennung der Variablen, das hat mir gefehlt.
Wenn ich deinen Ausdruck integriere, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{y} \, dy = \int_{}^{} \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[ln(| y | \right] = x + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = e^{x+C} \end{eqnarray*}$

Jetzt den Punkt einsetzen y(0) = 1

$\begin{eqnarray*} 1 = e^{0 + C} \end{eqnarray*}$

C = 0

$\begin{eqnarray*} y = e^{x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ? Danke nochmal Huggy, ich bin einfach nicht drauf gekommen.

Gruß Yess

22.05.2019, 10:14

Huggy

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Passt!

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